Question

Доказать методом индукции следующее равенство: 1^3+2^3++n^3=(1+ 2+ + n)^2

Answer 1

Пусть 1^3+2^3+...+n^3=(1+ 2+ ...+ n)^2=А(очевидно, что А>0)
1) n=1
имеем 1^3=1^2. Верно.
2) Допустим, что наше равенство верно для числа n. Докажем, что равенство верно и при n+1.
Тогда исходное равенство примет вид 
(1^3+2^3+...+n^3)+(n+1)^3=((1+ 2+ ...+ n)+(n+1))^2
A+(n+1)^3=(√А+(n+1))^2
A+(n+1)^3=А+2√А*(n+1)+(n+1))^2
(n+1)^3=2√А*(n+1)+(n+1)^2
Так как n натуральное, то (n+1)>0, поэтому разделим обе части нашего уравнения на (n+1)
(n+1)^2=2√А*+(n+1)
n^2+2n+1=2(1+ 2+ ...+ n)+n+1
n^2+n=2(1+ 2+ ...+ n)
Заметим, что 1+ 2+ ...+ n - сумма арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, разностью, равной 1. Тогда количество членов в ней равно n.
Тогда 
n^2+n=2((1+n)/2)*n
n^2+n=n^2+n
Верно.
Значит равенство верно при любых натуральных n