Question

Вграфе 2n вершин и n^2+1 ребро. докажите, что для любого n найдётся ребро, принадлежащее двум циклам длины 3.

Answer 1

очевидно при n = 1 не существует графа с 2 ребрами, поэтому n ≥ 2

степень вершины - количество всех ребер, выходящих из вершины deg(v)

сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству всех ребер

т.е. в данном графе сумма степеней вершин

$deg(V)=deg(v_1)+deg(v_2)+...+deg(v_{2n})=2n^2+2$

будем доказывать от противного. предположим такого ребра нет.

рассмотрим любые 4 вершины, чтобы среди них не было ребра, которое принадлежит двум циклам длины 3, среди них может быть проведено не более 4 ребер, как бы не проводили пятое, всегда оно дополнит второй цикл.

поэтому сумма степеней всех вершин среди любых четырех не превосходит 4*2 = 8

рассмотрим четверки:

$deg(v_1)+deg(v_2)+deg(v_3)+deg(v_4)\leq 8\\ deg(v_2)+deg(v_3)+deg(v_4)+deg(v_5)\leq 8\\ ...\\ deg(v_{2n})+deg(v_1)+deg(v_2)+deg(v_3)\leq 8\\$

сложим все неравенства и получим, что

4*deg(V) ≤ 16n

deg(V) ≤ 4n

но deg(V) по условию равно 2n² + 2

2n² + 2 ≤ 4n

2(n-1)² ≤ 0

неравенство может выполниться только при n = 1, но как уже было отмечено, этот случай не удовлетворяет по условию.

Значит, наше предположение было не верно.

ответ: доказано.