4.
\begin{gathered}5\pi < \alpha < \frac{11\pi}{2} \: \: \: | - 4\pi \\ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \end{gathered}
5π<α<
2
11π
∣−4π
π<α<
2
3π
угол принадлежит 3 четверти, синус и косинус отрицательные.
Воспользуемся формулой:
\begin{gathered}1 + {ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{ { \sin}^{2} \alpha } \\ \sin( \alpha ) = + - \sqrt{ \frac{1}{1 + {ctg}^{2} \alpha } } \\ \sin( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{16}{9} } } = - \sqrt{ \frac{9}{25} } = - \frac{3}{5} \\ \\ \cos( \alpha ) = \sqrt{1 - { \sin }^{2} \alpha } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5} \end{gathered}
1+ctg
2
α=
sin
2
α
1
sin(α)=+−
1+ctg
2
α
1
sin(α)=−
1+
9
16
1
=−
25
9
=−
5
3
cos(α)=
1−sin
2
α
cos(α)=−
1−
25
9
=−
25
16
=−
5
4
5.
Чтобы выяснить, существуют ли такие значения угла, нужно подставить их в основное тригонометрическое тождество.
\begin{gathered} { \sin}^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha = 1 \\ \\ {( \frac{3}{8} )}^{2} + {( \frac{5}{8} )}^{2} = \frac{9 + 25}{64} = \frac{34}{64} \end{gathered}
sin
2
α+cos
2
α=1
(
8
3
)
2
+(
8
5
)
2
=
64
9+25
=
64
34
это не равно 1 => не существует
6.
\begin{gathered} \cos( \alpha ) = \sqrt{1 - \frac{1}{9} } = \sqrt{ \frac{8}{9} } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \\ tg \alpha = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \times \frac{3}{1} = 2 \sqrt{2} \end{gathered}
cos(α)=
1−
9
1
=
9
8
=
3
2
2
tgα=
cos(α)
sin(α)
=
3
2
2
×
1
3
=2
2
это не равно данному в условии тангенсу => не существует.
\begin{gathered} \cos( \alpha ) = \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg}^{2} \alpha } } = \\ = \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{2}{16} } } = \frac{4}{ \sqrt{18} } = \frac{4}{3 \sqrt{2} } \\ \\ { \sin}^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha = 1 \\ \frac{1}{9} + \frac{16}{9 \times 2} = \frac{2 + 16}{18} = \frac{18}{18} = 1\end{gathered}
cos(α)=
1+tg
2
α
1
=
=
1+
16
2
1
=
18
4
=
3
2
4
sin
2
α+cos
2
α=1
9
1
+
9×2
16
=
18
2+16
=
18
18
=1
=> существует
