Question

90 принцип дирихле дано 8 натуральных чисел < 15 доказать, что среди положительных попарных разниц всегда есть 3 одинаковых

Answer 1

всего попарных разниц: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28

эти разницы могут принимать значения от 1 до 13 (14 - 1 = 13, 14 самое большое натуральное число, которое меньше 15, 1 самое маленькое натуральное число)

если предположить, что каждое число встречается не более двух раз, то всего разниц должно быть не более 13*2 = 26

по принципу Дирихле, есть хотя бы одно число, которое встретилось трижды

ответ: доказано

Answer 2

Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – возьмем 14 столиков. На них мы будем класть шарики, ими, конечно, должны быть разности между парами данных нам натуральных чисел. Однако имеется 28 пар и их можно разложить по 14 столикам так, что на каждом столике будет лежать ровно два «шарика» (и значит, на каждом меньше трех). Здесь надо использовать дополнительное соображение: на столикн с номером 14 может лежать не боллее одного шарика, ведь число 14 можно записать как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним Значит, на оставшихся 13 столиках лежит не менее 27 шариков, и применение обобщенного принципа Дирихле дает нам желаемый результат.