Х км/год - швидкість першого потягу. х км/год - швидкість другого потягу, бо потяги їхали з однаковою швидкістю - за умовою задачі. 4х км - проїхав за 4 год. перший потяг. 2х км - проїхав за 2 год. другий потяг. 4х-2х=122 (км) - на стільки кілометрів проїхав пеший потяг більше ніж другий. Тоді: 2х=122 х=122/2 х=61 (км/год) - швидкість першого потягу, також швидкість другого потягу
61*4=244 (км) - проїхав за 4 год. пеший потяг. 61*2=122 (км) - проїхав за 2 год. другий потяг.
244-122=122 (км) - на стільки кілометрів перший потяг проїхав більше ніж другий.
A) (3*3*5*4):(3*3*5) Выкидываем лишние множители из обеих частей, получается: 4. Верно, так как в правой части множителей не остаётся. б) (2*2*13*7)/(2*2*13) Выкидываем лишние множители из обеих частей, получается: 7. Верно, так как в правой части множителей не остаётся. в) (3*3*3*5*5)/(3*3*7) Выкидываем лишние множители из обеих частей, получается: (3*5*5)/7. В правой части остался множитель 7, соответственно, неверно. г) (7*7*11*5)/(7*11*11) Выкидываем лишние множители из обеих частей, получается: (7*5)/11. В правой части остался множитель 11, соответственно, неверно.
База (n = 1):
1 * 4 = 1(1 + 1)² = 4.
Переход:
Пусть выражение верно для n = k, докажем, что оно верно и для k+1:
1 * 4 + 2 * 7 +...+k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)²
По предположению индукции 1 * 4 + 2 * 7 +...+k(3k + 1) = k(k+1)², значит:
k(k+1)² + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)²
k³ + 2k² + k + 3k² + 4k + 3k + 4 = (k + 1)(k² + 4k + 4)
k³ + 5k² + 8k + 4 = k³ + 5k² + 8k + 4
Значит, для n = k+1 выражение тоже верно. И так по индукции.