Question

Участвую в конкурсе по и не могу решить 1) дано уравнение а*b + a*b = вектор ab. условие : а и b имеют одинаковое количество цифер и они положительные. вектор аb

показывает число, если написать a и b друг за другом. например: вектор аb = 2019, если а = 20, b=19. нужно найти возможные числа для a и b
​

Answer 1

Пусть кол-во цифр а и b равно $n$

Тогда: $a*b + a*b=\overline{ab}\\ 2*a*b=a*10^n+b\\ 2*a*(b-5*10^{n-1})=b\\ 2*(b-5*10^{n-1})=\dfrac{b}{a}\\ \\b\in N,5*10^{n-1} \in N = \dfrac{b}{a}=2k,k\in N,\\ \dfrac{10...0}{99...9}\leq 2k\leq \dfrac{99...9}{10...0}1\leq k\leq 4 \\ b-5*10^{n-1}=k\\ b=5*10^{n-1}+k$

1) $k=1\\ 2a=5*10^{n-1}+1\\ 1)n=1=a=3=b=6\\ 2)n1=\varnothing$

т.к. в случае 2. получаем равенство нечетного и четного чисел, что неверно.

2) $k=2\\ 4a=5*10^{n-1}+2\\ 2a-1=25*10^{n-2}\\ 1)n=2=2a-1=25=a=13=b=4*13=52\\2)n2=\varnothing$

т.к. в случае 2. получаем равенство нечетного и четного чисел, что неверно.

3) $k=3\\ 6a=5*10^{n-1}+3\\ 3*(2a-1)=5*10^{n-1}=5*10^{n-1}\vdots 3$,

что неверно.

4) $k=4\\ 8a=5*10^{n-1}+4\\ 4a=25*10^{n-2}+2\\ 2a=125*10^{n-3}+1\\ 1)n=3=a=63=n=2=\varnothing\\2)n3=\varnothing$

т.к. в случае 2. получаем равенство нечетного и четного чисел, что неверно.

ответ: (3; 6), (13, 52)