Question

Дано: a={2; 1; 0}, b={1; -1; 2}, c={2; 2; -1} и d={3; 7; -7} определить разложение каждого из этих четырёх векторов, принимая в качестве базиса три остальных вектора.​

Answer 1

Чтобы определить разложение вектора по базису, нужно выразить данный вектор через линейную комбинацию базисных векторов.

В данном случае имеется 4 вектора a, b, c и d, и вам нужно определить их разложение по остальным трем векторам.

Для начала проверим, являются ли векторы a, b, c линейно независимыми. Для этого составим матрицу из данных векторов и проверим её определитель:

Матрица:

| 2 1 0 |
| 1 -1 2 |
| 2 2 -1 |

Раскладываем эту матрицу по первому столбцу:

2 * ( (-1)*(-1) - 2*2) - 1 * (1*(-1) - 2*2) + 0 * (1*2 - (-1)*2) = 2 * (1 - 4) - 1 * (-1 - 4) + 0 * (2 - (-2)) = 2 * (-3) - 1 * (-5) + 0 * 4 = -6 + 5 + 0 = -1

Определитель матрицы равен -1, поэтому векторы a, b, c являются линейно независимыми.

Теперь найдем разложение вектора a по векторам b, c и d.

Обозначим разложение вектора a следующим образом: a = kb + lc + md, где k, l и m - коэффициенты, определяющие разложение.

Подставляем векторы a, b, c и d в уравнение разложения:

2{1; -1; 2} + 1{2; 2; -1} + m{3; 7; -7} = {2k + 2l + 3m; -2k + 2l + 7m; 4k - l - 7m}

По условию задачи вектор a представляется в виде {2; 1; 0}. Составляем систему уравнений и решаем её:

2k + 2l + 3m = 2
-2k + 2l + 7m = 1
4k - l - 7m = 0

Добавим уравнение ведущего плана (или уравнение, которое необходимо решить):

k + l + m = 0

Решим эту систему уравнений методом Гаусса:

| 2 2 3 | 2 |
| -2 2 7 | 1 |
| 4 -1 -7 | 0 |
| 1 1 1 | 0 |

Вычтем из 1 строки 2 строку, умноженную на 1, получим:

| 2 2 3 | 2 |
| 0 4 -4 | 3 |
| 4 -1 -7 | 0 |
| 1 1 1 | 0 |

Вычтем из 1 строки 3 строку, умноженную на 2, получим:

| 2 2 3 | 2 |
| 0 4 -4 | 3 |
| 0 -3 1 | -4 |
| 1 1 1 | 0 |

Вычтем из 1 строки 4 строку, умноженную на 1, получим:

| 1 1 2 | 2 |
| 0 4 -4 | 3 |
| 0 -3 1 | -4 |
| 0 0 0 | 0 |

Вычтем из 2 строки 3 строку, умноженную на 4/3, получим:

| 1 1 2 | 2 |
| 0 4 -4 | 3 |
| 0 0 8/3 | -8/3 |
| 0 0 0 | 0 |

Заметим, что 8/3 * (1, 0, 0) = (8/3, 0, 0), результат имеет произведение вектора b.

Теперь перейдем к решению системы относительно k, l, m:

k + l + 2m = 2
4l - 4m = 3
8/3m = -8/3

Решим последнее уравнение:

m = -1

Подставим m в предыдущие уравнения:

l = 4/3
k = 2 - l - 2m = 2 - 4/3 + 2 = 2/3

Итак, разложение вектора a по векторам b, c и d имеет вид:

a = (2/3)b + (4/3)c - d