Question

Разложите на множители(подробно) 3x^(4)-4x^(3)+1

Answer 1

$3x^4 - 4x^3 + 1 = 0$

По теореме Безу, проверим корни $\pm 1$.

$-1$ корнем не является, а при $x = 1$ выражение обращается в 0. Попытаемся выделить $x - 1$ из выражения.

$3x^4 - 4x^3 + 1 = 3x^3(x - 1) - x^3 + 1\\3x^3(x - 1) - x^3 + 1 = 3x^3(x - 1) - x^3 + x^2 - x^2 + 1 = 3x^3(x - 1) - x^2(x - 1) - x^2 + 1\\3x^3(x - 1) - x^2(x - 1) - x^2 + x - x + 1 = 3x^3(x - 1) - x^2(x - 1) - x(x - 1) - (x - 1)\\3x^3(x - 1) - x^2(x - 1) - x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(3x^3 - x^2 - x - 1)$

У многочлена $3x^3 - x^2 - x - 1$, $x = 1$ также является корнем.

$3x^3 - x^2 - x - 1 = 3x^3 - 3x^2 + 2x^2 - x - 1 = 3x^2(x - 1) + 2x^2 - x - 1\\3x^2(x - 1) + 2x^2 - x - 1 = 3x^2(x - 1) + 2x^2 - 2x + x - 1 = 3x^2(x - 1) + 2x(x - 1) + (x - 1)\\3x^2(x - 1) + 2x(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(3x^2 + 2x + 1)$

Тогда, $3x^4 - 4x^3 + 1 = (x - 1)^2(3x^2 + 2x + 1)$

Разложим $3x^2 + 2x + 1$.

$3x^2 + 2x + 1 = 0\\D = 4 - 12 = -8 < 0$, следовательно корней не имеет и на множители разложить нельзя.

ответ: $3x^4 - 4x^3 + 1 = (x - 1)^2(3x^2 + 2x + 1)$