Предположим, что нашлась задача, которую решили не более двух девочек или не более двух мальчиков. Будем считать задачу «красной» , если её решили не более двух девочек и «чёрной» в противоположном случае (тогда её решили не более двух мальчиков) . Представим шахматную доску с 21-й строкой, каждая из которых соответствует девочке, и 21-м столбцом, каждый из которых соответствует мальчику. Тогда каждая клетка соответствует паре «мальчик–девочка» . Каждую клетку покрасим в цвет какой-нибудь задачи, которую решили и мальчик-строка и девочка-столбец. По принципу Дирихле в каком-нибудь столбце найдётся 11 чёрных клеток, или в какой-нибудь строке найдутся 11 красных клеток (потому что иначе получится, что всего клеток не более чем 21 • 10 + 21 • 10 < 21²).
Рассмотрим, например, девочку-строку, содержащую хотя бы 11 чёрных клеток. Каждой из этих клеток соответствует задача, решённая максимум двумя мальчиками. Тогда мы можем указать не менее 6 различных задач, решённых этой девочкой. В силу первого условия никаких других задач девочка не решала, но тогда максимум 12 мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой, что противоречит второму условию.
Точно также разбирается случай, если в каком-нибудь столбце найдутся 11 красных клеток.
Через 1,5 часа
Пошаговое объяснение:
Пусть t - время движения, тогда
(13 - 6t) - расстояние, которое осталось пройти первому туристу в направлении пункта А;
4t - расстояние, которое второй турист, двигаясь от пункта А в перпендикулярном направлении.
Расстояние между туристами, согласно теореме Пифагора:
у = √ ((13 - 6t)² + (4t)²)
Кратчайшее расстояние - это минимальное значение у, то есть точка, в которой у' = 0.
Обозначим:
(13 - 6t)² + (4t)² = u
у = √u
у' = (1/(2√u)) · u'
(1/(2√u)) · u' = 0
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, то есть:
u' = 0
u' = ((13 - 6t)² + (4t)²))' = 0
(169-156t+36t²+16t²)'=0
(52t²-156t+169)'=0
104t - 156=0
t = 156 : 104 = 1.5
ответ: расстояние между туристами будет наименьшим через 1,5 часа после начала движения.
ВСПОМНИЛИ: Площадь - интеграл функции.
РЕШЕНИЕ
1. Преобразовали функции и находим точки их пересечения.
Y1 = 1/2*x² - 3/2 = Y2 = x² - 4 и получили:
0,5*х² - 2,5 = 0,
a = √5 - верхний предел и b = -√5 - нижний предел (≈ +/- 2.23)
Пишем первообразную функцию
s(x) = - 2.5 + 0.5*x² - разность до интегрирования.
S(x) = - 2.5*x + 1/6*x³ - первообразная.
Вычисляем на границах интегрирования.
S(√5) = 5.59 - 1.86 = 3.73, S(-√5) = - 5.59 + 1.86 = - 3.73
S = S(a) - S(b) ≈ 7.4536 - площадь - ОТВЕТ
Рисунок к задаче в приложении.