Question

Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка y'-ysinx=sinxcosx

Answer 1

$y'-ysinx=sinxcosx\\\frac{dy}{dx}-ysinx=0\\\frac{dy}{dx}=ysinx\\\frac{dy}{y}=sinxdx\\ln|y|=-cosx+ln|C|\\y=C(x)*e^{-cosx}\\y'=C(x)sinxe^{-cosx}+C'(x)e^{-cosx}\\C(x)sinx*e^{-cosx}+C'(x)e^{-cosx}-C(x)sinx*e^{-cosx}=sinxcosx\\C'(x)=sinxcosxe^{cosx}\\C(x)=-\int cosxe^{cosx}d(cosx)=-cosx*e^{cosx}+e^{cosx}+C\\y=1-cosx+Ce^{-cosx}$