50 на доске записано 19 натуральных чисел. известно, что сумма любых трех из них не меньше 61. найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел, записанных на доске. после премьеры фильма зрителей, посмотревших его в кинотеатрах а и в, попросили оценить фильм, поставив ему оценку не более 10 (оценка не обязательно целая). оказалось, что средняя оценка, выставленная зрителями кинотеатра а – 6,61, зрителями кинотеатра в – 6,38, а всеми зрителями кинотеатров а и в – 6,5. какое наибольшее число зрителей могло посмотреть фильм в кинотеатре а, если известно, что их (т.е. зрителей, посмотревших фильм в кинотеатре а) было меньше 240 человек? вася выписал на доску несколько натуральных чисел, в записи которых используются только цифры 0, 3 и 6. когда он сложил все числа, записанные на доске, он получил число (111 пятёрок). какое наименьшее количество чисел могло быть записано на доске? на доске 15 × 15 расставили фишки, так что в каждой клетке стоит не более одной фишки. при этом выполняется следующее условие. для любой пары фишек, стоящих в одной строке, количество клеток между ними – четно (возможно, ноль). аналогично, для любой пары фишек, стоящих в одном столбце, количество клеток между ними – четно (возможно, ноль). какое наибольшее количество фишек может стоять на доске?
так как 31 чисел должны быть четными, то 38-31=7 чисел должны быть нечетными. например, в качестве наименьших нечетных чисел, оканчивающихся на цифру 5, можно взять числа:
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65.
их сумма будет равна 245. тогда четные числа в сумме должны давать
1255-245 = 1010.
наименьшие из 31 четных чисел – это последовательность:
2, 4, 6, 8, …, 60, 62
и их сумма равна
.
разница с требуемым значением составляет
1010-992 = 18.
скорректируем последовательность из 31 четных чисел. уберем из нее последнее число 62 и вместо него запишем четное число 62+18=80. таким образом, получили требуемую последовательность чисел.