Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с элементарных преобразований.
Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.
A·A-1 = A-1 · A = E
Алгоритм нахождения обратной матрицы с элементарных преобразований:
Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
Дописываем справа единичную матрицу
Делаем прямой ход. Обнуляем все элементы (с элементарных преобразований) левой матрицы стоящей под ее главной диагонали.
Делаем обратный ход. Обнуляем все элементы (с элементарных преобразований) левой матрицы стоящей над ее главной диагонали.
Элементы главной диагонали левой матрицы, преобразуем в единицы.
Пример
Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:
Обратная матрица с элементарных преобразований
Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 8 обратная матрица существует.
Допишем к нашей матрице слева единичную матрицу.
Обратная матрица с элементарных преобразований
Чтобы сделать нули под элементом a11, вычтем 1-ую строку из всех строк, что расположены ниже её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a11.
Обратная матрица с элементарных преобразований
Чтобы сделать нули над элементом a33, вычтем 3-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a33.
Обратная матрица с элементарных преобразований
Чтобы сделать нули над элементом a22, вычтем 2-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a22.
Обратная матрица с элементарных преобразований
Поделим каждую строку на элемент, который стоит на главной диагонали.
Обратная матрица с элементарных преобразований
Вот мы и нашли обратную матрицу.
Обратная матрица с элементарных преобразований
Всё на картинке
Пошаговое объяснение: