Даны координаты вершин пирамиды авсd. требуется: 1) записать векторы ав, ас, ad в системе орт i, j, k и найти модули этих векторов 2) найти угол между векторами ав, ас 3) найти проекцию вектора аd на вектор ав 4) найти площадь грани авс 5) найти объем пирамиды авсd 6) составить уравнение ребра ас 7) составить уравнение грани авс а (0; 3; 2), b(-2; 6; 2), c (-2; 3; 8), d(0; 6; 10)
1) Запись векторов ав, ас, ad в системе орт i, j, k и нахождение их модулей:
Координаты вершин пирамиды даны: а(0; 3; 2), b(-2; 6; 2), c (-2; 3; 8), d(0; 6; 10).
Для нахождения вектора ав вычитаем координаты точки a из координат точки v:
ав = в - а = (0 - 0)i + (6 - 3)j + (10 - 2)k = 0i + 3j + 8k
Для нахождения вектора ас вычитаем координаты точки a из координат точки с:
ас = с - а = (-2 - 0)i + (3 - 3)j + (8 - 2)k = -2i + 0j + 6k
Для нахождения вектора ад вычитаем координаты точки a из координат точки d:
ад = d - a = (0 - 0)i + (6 - 3)j + (10 - 2)k = 0i + 3j + 8k
Теперь находим модули этих векторов:
|ав| = √(0^2 + 3^2 + 8^2) = √(0 + 9 + 64) = √(73) ≈ 8.54
|ас| = √((-2)^2 + 0^2 + 6^2) = √(4 + 0 + 36) = √(40) ≈ 6.32
|ад| = √(0^2 + 3^2 + 8^2) = √(0 + 9 + 64) = √(73) ≈ 8.54
2) Нахождение угла между векторами ав и ас:
Используем скалярное произведение векторов:
ав * ас = |ав| * |ас| * cosθ
cosθ = (ав * ас) / (|ав| * |ас|)
ав * ас = (0 * -2) + (3 * 0) + (8 * 6) = 0 + 0 + 48 = 48
cosθ = 48 / (8.54 * 6.32) ≈ 0.94
θ ≈ arccos(0.94) ≈ 20.3°
Ответ: Угол между векторами ав и ас примерно равен 20.3°.
3) Нахождение проекции вектора ад на вектор ав:
Проекция вектора ад на вектор ав равна скалярному произведению этих векторов, деленному на квадрат модуля вектора ав:
Проекция = (ад * ав) / |ав|^2
ад * ав = (0 * 0) + (3 * 3) + (8 * 8) = 0 + 9 + 64 = 73
Проекция = 73 / (8.54^2) ≈ 0.98
Ответ: Проекция вектора ад на вектор ав примерно равна 0.98.
4) Нахождение площади грани авс:
Площадь грани авс равна половине модуля векторного произведения векторов ав и ас:
Sграни = 1/2 * |ав x ас|
ав x ас = (3 * 6 - 8 * 0)i - (0 * 6 - 8 * -2)j + (0 * 0 - 3 * -2)k = 18i + 16j + 6k
|ав x ас| = √(18^2 + 16^2 + 6^2) = √(324 + 256 + 36) = √(616) ≈ 24.8
Sграни = 1/2 * 24.8 = 12.4
Ответ: Площадь грани авс примерно равна 12.4.
5) Нахождение объема пирамиды авсd:
Определяется как одна шестая часть объема параллелепипеда, построенного на векторах ав, ас и ад:
Vпирамиды = 1/6 * |(ав x ас) * ад|
(ав x ас) * ад = (18 * 0 + 16 * 3 + 6 * 8) * 3 = 0 + 48 + 48 = 96
Vпирамиды = 1/6 * 96 = 16
Ответ: Объем пирамиды авсd равен 16.
6) Уравнение ребра ас:
Уравнение ребра ас задается двумя точками: а и с. Так как их координаты уже даны, то уравнение ребра ас будет следующим:
x = -2
y = 3 + t
z = 2 + 6t,
где t - параметр.
Ответ: Уравнение ребра ас: x = -2, y = 3 + t, z = 2 + 6t.
7) Уравнение грани авс:
Для составления уравнения грани авс, мы можем использовать эти точки а, c и векторное произведение векторов ав и ас.
векторная p(ав, ас) = (ав x ас) = 18i + 16j + 6k
Теперь мы можем составить уравнение плоскости:
18(x - 0) + 16(y - 3) + 6(z - 2) = 0,
18x + 16y + 6z - 100 = 0.
Подставляя точку а (0, 3, 2) в уравнение, мы получаем 0 + 3*16 + 6*2 - 100 = 0 + 48 + 12 - 100 = 60 - 100 = -40. Это значит, что уравнение плоскости:
18x + 16y + 6z - 100 = 0
Ответ: Уравнение грани авс: 18x + 16y + 6z - 100 = 0.