Доказать, что
а^2+1/2 ≥ a.
Доказательство:
Первый
Оценим разность:
(а^2+1/2) - a = а^2 - a + 1/2 = а^2 - 2•a•1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/2 = (а - 1/2)^2 - 1/4 + 2/4 = (а - 1/2)^2 + 1/4 ;
Так как
(а - 1/2)^2 ≥ 0 при любом значении а, то и
(а - 1/2)^2 + 1/4 ≥ 1/4 ≥ 0.
Так как разность неотрицательна, то по определению
а^2+1/2 ≥ a при любых значениях а.
Неравенство доказано.
Второй
а^2+1/2 ≥ a
а^2 - a + 1/2 ≥ 0
Рассмотрим функцию
у = а^2 - a + 1/2 - квадратичная, графиком является парабола.
Т.к. старший коэффициент равен 1, 1>0, то ветви параболы направлены вверх.
D = 1 - 4•1•1/2 = 1 - 2 = - 1 < 0, то
функция нулей не имеет, парабола не пересекает ось абсцисс, а поэтому
у > 0 при всех значениях а,
а^2 - a + 1/2 > 0 при любом а, следовательно, и а^2 - a + 1/2 ≥ 0, неравенство а^2+1/2 ≥ a доказано.
Пошаговое объяснение:
А. Приведём уравнение к виду
y=ax²+bx+c
4y=-x²-4x-8 => y=-1/4 x² - x - 2
График кривой y это парабола с ветвями, направленными вниз. Парабола - это кривая с единичным эксцентриситетом
е=1
Каноническое уравнение этой параболы
y=-1/4 x²
Вершина исходной параболы находится на линии симметрии
x=-b/2a=1:(-1/2)=-2 - это абсцисса вершины
y=-1/4 (-2)²-(-2)-2=-1+2-2=-1 - это ордината вершины.
Фокус параболы находится на расстоянии
1/4a вниз от вершины, т. е.
y=-1-1/(4×1/4)=-2
Таким образом координаты фокуса
(-2; -2)
Парабола пересекает ось ординат в точке
y=-2
Построение параболы производим по найденной вершине (-2; -1); по точке пересечения с осью ординат и с учётом её симметрии относительно вертикальной линии х=-2
В. Решается аналогично.
По условию сайта не могу дать полное решение больше, чем на 1 задание.