Question

По координатам вершины пирамиды а1а2а3а4 найти 1)длину ребер а1а2 и а1а3 2)угол между ребрами а1а2 и а1а3 3)площадь грани а1а2а3 4)объем пирамида а1(-2; 1; -1) а2(-3; 1; 3) а3(-4; 2; -1) а4(-2; 3; 1)

Answer 1

Даны вершины пирамиды А1(-2;1;-1), А2(-3;1;3), А3(-4;2;-1), А4(-2;3;1).

1. Нахождение длин ребер и координат векторов          

                             x y z Квадрат Длина ребра L:  

Вектор А1А2={xА2-xA1, yА2-yA1, zА2-zA1}  -1 0 4 17

L = √17 ≈  4,123106.  

Вектор А1А3={xА3-xA1, yА3-yA1, zА3-zA1}  -2 1 0 5

L = √5 ≈ 2,236068.

2) Угол между ребрами А1А2 (-1; 0; 4) и А1А3(-2; 1; 0).

cos α = (-1*(-2)+0*1+4*0)/(√17*√5) = 2/√85 ≈ 0,21693.

Угол равен 1,352127 радиан или 77,471192  градуса.

3) Площадь грани А1А2А3 - это (1/2) векторного произведения  А1А2 (-1; 0; 4) и А1А3(-2; 1; 0):

Произведение векторов      

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx.

Подставив координаты векторов, получаем a × b = -4 -8 -1

S = (1/2)*√((-4)² + (-8)² + (-1)²) = (1/2)*9 = 4,5.

4) Объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов А1А2, А1А3 и А1А4.

А1А2 х А1А3 = (-4; -8; -1) из пункта 3).

Находим вектор  А1А4.

Вектор АD={xА4-xA1, yА4-yA1, zА4-zA1} =  0 2 2.

(А1А2 х А1А3) х А1А4 = abs((-4)*0 + (-8)*2 + (-1*2)) = 16 + 2 = 18.

V = (1/6)*18 = 3.