Question

Данным координаты вершин треугольника abc. а(-5; 7); в(7; -2); с(11; 20)найти: 1) длину стороны ав; 2)уравнение стороны ав и вс и их угловые координаты; 3)угол в в радианах с точностью до двух знаков; 4)уравнение высоты сd и её длину; 5)уравнение медицины ае и координаты точки к пересечения этой медианы с высотой сd; 6)уравнение прямой, проходящей через точку к параллельно стороне ав; 7)координаты точки м,расположеной симметрично точке а относительно прямой сd

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Расчет длин сторон:

АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √169 = 13,  

BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 = 22.36067977,  

AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √985 = 31.38470965.

2) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.

Ха Уа   Хв Ув    Хс Ус  

-5  -7      7 -2     11 20

AB: \frac{x+5}{7-(-5)} = \frac{y+7}{-2-(-7)}  

\frac{x+5}{12} = \frac{y+7}{5} .  Это уравнение в каноническом виде. В общем виде оно будет таким:

АВ: 5х - 12у - 59 = 0.

В виде уравнения с коэффициентом:

у = (5/12)х - (59/12), или  у = 0.416667х  - 4.9167.

Угловой коэффициент равен:  

Кав = (Ув-Уа) / ( Хв-Ха)=  5/12 = 0.416667.

Аналогично находим уравнение стороны ВС:

ВС: 22х  - 4у  - 162 = 0

Можно сократить на 2:

ВС: 11х - 2у - 81 = 0.

В виде уравнения с коэффициентом:

у = (11/2)х - (81/2), или  у = 5.5х  - 40.5.

Угловой коэффициент равен:

 Квс = (Ус-Ув) / (Хс-Хв ) = 11/2 = 5,5.

3) Угол Ψ между прямыми АВ и ВС в радианах.

Это угол В, его определяем по теореме косинусов:

cos В= (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС) = -0.543537  

B = 2.145441 радиан  = 122.9247 градусов.

4) Уравнение высоты СD и ее длина.

СD: (Х-Хс) / (Ув-Уа)  = (У-Ус) / (Ха-Хв).

В каноническом виде:

CD: \frac{x-11}{5} = \frac{y-20}{-12}  

В общем виде CD:  -12x  - 5y + 232 = 0 или с положительным коэффициентом при х:

CD: 12x + 5y - 232 = 0.

Длина высоты CD:

CD = 2S / BA .

Находим площадь треугольника :

S =  (1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 122.

Тогда CD = 2*122 / 13 = 18.76923.

5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD .

Находим координаты точки Е как средней между точками В и С:

Е((7+11)/2=9; (-2+20)/2=9) = (9; 9).

Уравнение АЕ:  \frac{x+5}{14} = \frac{y+7}{16}  или в общем виде  16х - 14у - 18 = 0.

Можно сократить на 2:

АЕ: 8х - 7у - 9 = 0.

Координаты точки К пересечения  медианы АЕ с высотой СD находим решением системы уравнений этих прямых:

  8х - 7у - 9 = 0           40х - 35у - 45 = 0

12x + 5y - 232 = 0      84х + 35у - 1624 = 0

                                   124х          - 1669 = 0

                                          Хк = 1669 / 124 = 13.45968.

                                          Ук = (8х - 9) / 7 = 14.09677.

6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку К параллельно стороне АВ.

У прямой L коэффициент к = 5/12 = 0.416667 (как и у прямой АВ).

Подставляем координаты точки К:

14.09677 = 0.416667*13.45968 + в.

Отсюда находим "в":

в = 14.09677 - 0.416667*13.45968 = 8.488575.

Получаем уравнение прямой L:

у = 0.416667х + 8.488575.

7) Координаты точки F(X_F Y_F), которая находится симметрично точке А относительно прямой СD.

Так как прямая СD - это перпендикуляр к стороне АВ, то точка D - центр симметрии.

Координаты D(18.2189349; 2.6745562).

xF = 2*xD - xA = 2*18.2189349 - (-5) = 41.4378698,

yF = 2*yD - yA = 2*2.6745562 - (-7) = 12.349112.