Question

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений: (x^2)*y' =(y^2)+4*x*y+2*x^2

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для однородных уравнений берут замену $y=ux$

$y=u'x+u$

$x^2(u'x+u)=u^2x^2+4ux^2+2x^2\\ u'x+u=u^2+4u+2\\ u'x=u^2+3u+2$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, тогда разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения

$\displaystyle \int\frac{du}{u^2+3u+2}=\int\frac{dx}{x}~~\Rightarrow~~\int\frac{du}{(u+1)(u+2)}=\int\frac{dx}{x}~~\Rightarrow~~\\ \\ \\ \Rightarrow~~ \int\frac{u+2-(u+1)}{(u+1)(u+2)}du=\int\frac{dx}{x}~~\Rightarrow~~\int\bigg(\frac{1}{u+1}-\frac{1}{u+2}\bigg)du=\int\frac{dx}{x}\\ \\ \\ \ln|u+1|-\ln|u+2|=\ln |x|+\ln C\\ \\ \ln \bigg|\frac{u+1}{u+2}\bigg|=\ln |Cx|\\ \\ \frac{u+1}{u+2}=Cx$

Сделаем обратную замену, подставив u = y/x, получим:

$\displaystyle \frac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+2}=Cx~~\Rightarrow~~ \frac{y+x}{y+2x}=Cx~~\Rightarrow~~ \boxed{y=\dfrac{x(1-2Cx)}{Cx-1}}$