Question

Планета с периодом обращения 16 лет имеет среднее расстояние от своего светила 8 а.е. найти: 1) скорость v обращения планеты в км/с; 2) массу своего светила м в солнечных массах; 3) радиус орбиты искусственного спутника светила с периодом обращения 1 год, выраженном в радиусах земли. !

Answer 1

Дано: Т = 16 лет = 16*31536000 секунд. (31536000 - количество секунд в году)

        R = 8 а.е. = 8*1,5*10^11 метров.

        G – гравитационная постоянная (числовое значение не нужно)

        Тоз – период обращения Земли вокруг Солнца = 1 год

        Rоз  - радиус орбиты Земли = 1 а.е.

        Мс – масса Солнца  (числовое значение не нужно)

        Vис  - орбитальная скорость искусственного спутника (ИС)

        Tис – период обращения ИС вокруг светила = 1 год.

Найти:

1. Скорость обращения планеты   - V

2. Массу светила в массах Солнца – М

3. Радиус орбиты ИС с периодом 1 год  -  Rиc

1.  Длина орбиты планеты  L = 2*pi*R = 2*3,1415926*8*1,5*10^11 = 7539822368615,5 метра. Это расстояние планета пролетает за время Т. Следовательно, скорость движения планеты по орбите V = L/T = 7539822368615,5/16*31536000 = 14942,89 м/сек = 14,943 км/сек.

2. Поскольку планета движется по замкнутой орбите, то на планету действует центростремительное ускорение определяемое выражением a = V²/R.  Это центростремительное  ускорение создает сила гравитации светила. И эта сила создает ускорение (g) свободного падения, которое на расстоянии R от светила определяется выражением  g = G*M/R².  Это ускорение «g»  и является центростремительным ускорением  «a». Значит можно записать g = а  Или G*M/R² = V²/R. Но V²/R = (2*pi*R)²/(T²*R) = 4*pi²*R/T².  Окончательно имеем  G*M/R² = 4*pi²*R/T². Отсюда М = 4*pi²*R³/(T²*G). Аналогично для Солнца Мс = 4*pi²*Rоз³/(Tоз²*G).   Разделим одно на другое М/Мс = 4*pi²*R³*Tоз²*G/4*pi²*Rоз³*T²*G. После сокращения подобных членов имеем М/Мс = R³*Tоз²/Rоз³*T²  = 8³*1²/1³*16² = 8³/16² = 512/256 = 2.  Светило в задаче в 2 раза массивнее Солнца.

3.  По аналогии с предыдущей задачей можно записать G*M/Rис² = Vис²/Rис.   Но Vис = 2*pi*Rис/Тис. Тогда G*M/Rис² = (2*pi*Rис)²/(Rис*Тис²).   Или G*M = 4*pi²*Rис³/ Тис².  Отсюда Rис³ = G*M*Тис²/4*pi²  и Rис =∛(G*M*Тис²/4*pi²). Аналогично для Земли Rоз = ∛(G*Mс*Тоз²/4*pi²). Разделим одно на другое Rис/ Rоз = ∛(G*M*Тис²*4*pi²/ G*Mс*Тоз²/4*pi². Учитывая, что по условию Тоз = Tис и сократив подобные члены имеем Rис/ Rоз = ∛(М/Мс). Раньше мы нашли, что М в 2 раза больше Мс значит Rис/ Rоз = ∛2. Следовательно, радиус орбиты искусственного спутника в ∛2 раз больше радиуса орбиты Земли.