Zadanie 4 (Задание 4)
Найдите количество деревьев на n вершинах, в которых степень каждой вершины не больше 2.
n=1 => дерево состоит из одной вершины степени 0.
n>=2 => 1] Вершины степени 0 быть не может (иначе граф несвязный). Значит степень вершин либо 1, либо 2. 2] существует простая цепь, являющаяся подграфом дерева.
Тогда будем достраивать дерево из цепи. Ребро - простая цепь.
Алгоритм:
Изначально есть ребро <u,v>. Степени концов цепи - вершин u и v - равны 1.
Если на данном шаге число вершин в графе равно n - получен один из искомых графов, больше его не изменяем.
Если же число вершин < n, добавляем ребро.
На 1ом шаге мы можем добавить либо ребро <u,a>, либо ребро <a,v>. Без нарушения общности, добавим <u,a>. У нас все еще простая цепь. При этом у концов a и v степень 1, а у всех остальных вершин, здесь это вершина u, - 2, и к ним ребра присоединить уже нельзя. Повторяя подобные операции, будем получать на каждом шаге простую цепь.
На n вершинах можно построить ровно одну простую цепь. А значит и число искомых деревьев равно 1 .
Zadanie 5 (Задание 5)
Покажите, что для графа G=[V,E] с k компонентами связности верно неравенство
Введем обозначения
Разобьем граф на компоненты связности. Для каждой компоненты, очевидно, верно неравенство . Просуммировав неравенства для каждой из k компонент, получим .
Оценка снизу получена.
Лемма: Граф имеет максимальное число ребер, если он имеет k-1 тривиальную компоненту связности и 1 компоненту, являющуюся полным графом. И действительно. Пусть – компоненты связности, . Тогда при "переносе" одной вершины из в число ребер увеличится на – а значит такая "конфигурация" неоптимальная, и несколькими преобразованиями сводится к указанной в лемме. А тогда максимальное число ребер в графе равно Оценка сверху получена.
Zadanie 6 (Задание 6)
Проверьте, являются ли следующие последовательности графическими, обоснуйте ответ
Решение в приложении к ответу
ответ: 1) -3(а+b+2)=-3*a+(-3)*b+(-3)*2=-3a-3b-6
2) 3(2-a)=-3a+6
6a-3a+3a=6
6a=6
a=6/6
a=1
3) a) 2(x+4)-5=2x+8-5=2x+3
b) 3(y-1)-8=3y-3-8=3y-11
4) a) 15+(a+b)=15+a+b
b) 6-(c-d)=6-c+d
5) a) (20+x)+10=20+x+10=30+x
b) 30-(x+3)=30-x-3=27-x
Пошаговое объяснение: