Question

Sinx*cos2x+cosx*cos4x=sin(pi/4+2x)*sin(pi/4-3x)

Answer 1

Для решения данного уравнения сначала упростим его выражение:

Sinx*cos2x + cosx*cos4x = sin(pi/4+2x)*sin(pi/4-3x)

Разложим выражение sin(pi/4+2x) с помощью формулы синуса суммы:

sin(pi/4+2x) = sin(pi/4)*cos(2x) + cos(pi/4)*sin(2x) = 1/sqrt(2)*(cos(2x) + sin(2x))

Аналогично, разложим выражение sin(pi/4-3x):

sin(pi/4-3x) = sin(pi/4)*cos(3x) - cos(pi/4)*sin(3x) = 1/sqrt(2)*(cos(3x) - sin(3x))

Подставим эти разложения обратно в исходное уравнение:

Sinx*cos2x + cosx*cos4x = (1/sqrt(2))*(cos(2x) + sin(2x))*(cos(3x) - sin(3x))

Раскроем скобки:

Sinx*cos2x + cosx*cos4x = (1/sqrt(2))*(cos(2x)*cos(3x) + cos(2x)*(-sin(3x)) + sin(2x)*cos(3x) - sin(2x)*(-sin(3x)))

Упростим слагаемые:

Sinx*cos2x + cosx*cos4x = (1/sqrt(2))*(cos(2x)*cos(3x) - cos(2x)*sin(3x) + sin(2x)*cos(3x) + sin(2x)*sin(3x))

Теперь сгруппируем слагаемые по видам:

Sinx*cos2x + cosx*cos4x = (1/sqrt(2))*((cos(2x)*cos(3x) + sin(2x)*sin(3x)) + (-cos(2x)*sin(3x) + sin(2x)*cos(3x)))

Заметим, что в первых двух слагаемых в скобках есть выражение cos(2x)*cos(3x) + sin(2x)*sin(3x), которое равно cos(2x + 3x):

Sinx*cos2x + cosx*cos4x = (1/sqrt(2))*(cos(2x + 3x) + (-cos(2x)*sin(3x) + sin(2x)*cos(3x)))

Продолжим упрощать:

Sinx*cos2x + cosx*cos4x = (1/sqrt(2))*(cos(5x) + (sin(2x)*cos(3x) - cos(2x)*sin(3x)))

Вспомним формулу синуса разности:

sin(a - b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b)

Применим эту формулу ко второму слагаемому:

sin(2x)*cos(3x) - cos(2x)*sin(3x) = sin(2x - 3x) = -sin(x)

Итак, теперь у нас получается:

Sinx*cos2x + cosx*cos4x = (1/sqrt(2))*(cos(5x) - sin(x))

Уравнение принимает вид:

(1/sqrt(2))*(cos(5x) - sin(x)) = sin(pi/4+2x)*sin(pi/4-3x)

Умножим обе части уравнения на sqrt(2), чтобы избавиться от дроби:

cos(5x) - sin(x) = sqrt(2)*sin(pi/4+2x)*sin(pi/4-3x)

Распишем правую часть в виде произведения:

cos(5x) - sin(x) = sqrt(2)*(sin(pi/4+2x)*sin(pi/4) - sin(pi/4+2x)*sin(3x))

Применим формулу синуса разности к обоим слагаемым:

cos(5x) - sin(x) = sqrt(2)*((1/2)*(sin(pi/4-3x+pi/4) - sin(pi/4-3x-pi/4)) - sin(pi/4+2x)*sin(3x))

Упростим:

cos(5x) - sin(x) = sqrt(2)*((1/2)*(sin(pi/2-3x) - sin(-pi/2-3x)) - sin(pi/4+2x)*sin(3x))

sin(pi/2-3x) = cos(3x)

sin(-pi/2-3x) = -cos(3x)

cos(5x) - sin(x) = sqrt(2)*((1/2)*(cos(3x) + cos(3x)) - sin(pi/4+2x)*sin(3x))

cos(5x) - sin(x) = sqrt(2)*(cos(3x) - sin(pi/4+2x)*sin(3x))

Упростим левую часть уравнения. Воспользуемся формулой синуса суммы:

sin(x)*cos(4x) = (1/2)*(sin(x + 4x) + sin(x - 4x)) = (1/2)*(sin(5x) + sin(-3x))

sin(x)*cos(4x) = (1/2)*(sin(5x) - sin(3x))

cos(5x) - sin(x) = sqrt(2)*(cos(3x) - sin(pi/4+2x)*sin(3x))

sqrt(2)*(cos(3x) - sin(pi/4+2x)*sin(3x)) = (1/2)*(sin(5x) - sin(3x))

Теперь у нас есть выражение с одной переменной x. Продолжим решение:

sqrt(2)*(cos(3x) - sin(pi/4+2x)*sin(3x)) = (1/2)*(sin(5x) - sin(3x))

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

2*sqrt(2)*(cos(3x) - sin(pi/4+2x)*sin(3x)) = sin(5x) - sin(3x)

Распишем левую часть уравнения:

2*sqrt(2)*(cos(3x) - sin(pi/4+2x)*sin(3x)) = 2*sqrt(2)*cos(3x) - 2*sqrt(2)*sin(pi/4+2x)*sin(3x)

Аналогично, распишем правую часть уравнения:

sin(5x) - sin(3x) = sin(3x + 2x) - sin(3x) = sin(5x) - sin(3x)

Итак, получается:

2*sqrt(2)*cos(3x) - 2*sqrt(2)*sin(pi/4+2x)*sin(3x) = sin(5x) - sin(3x)

2*sqrt(2)*cos(3x) = sin(5x) + 2*sqrt(2)*sin(pi/4+2x)*sin(3x)

Разделим обе части уравнения на 2*sqrt(2), чтобы избавиться от коэффициента:

cos(3x) = (sin(5x) + 2*sqrt(2)*sin(pi/4+2x)*sin(3x))/(2*sqrt(2))

Итак, мы получили выражение для cos(3x) через другие тригонометрические функции. Вот ответ на данный вопрос:

cos(3x) = (sin(5x) + 2*sqrt(2)*sin(pi/4+2x)*sin(3x))/(2*sqrt(2))