1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R при х ≠ 1.
2. Функция f (x) = (2x-1)/(x-1)^2 непрерывна на всей области определения.
Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х ≠ 1.
Область значений функции приведена в пункте 5.
3. Точки пересечения с осью координат Ох.
График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:
(2x-1)/(x+1)^2 =0.
Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.
Приравниваем нулю: 2х - 1 = 0. х = 0,5.
Значит, функция может принимать значения х = 0, так как точка, при которой знаменатель превращается в 0, это х = 1.
4. Точки пересечения с осью координат Оу.
График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.
В соответствии с пунктом 3 х = 0, точка пересечения графика с осью координат Оу: х = 0.
Результат: f(0) = -1. Точка: (0, -1).
5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y^'=-2x/(x-1)^3 =0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 2x=0.
Получаем 1 корень этого уравнения и это - точка, в которых возможен экстремум: х = 0 .Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 1 получаем 3 промежутка монотонности функции :
x ϵ (-∞; 0) U (0; 1) U (1; +∞).
На промежутках находим знаки производной.
Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -1 0 0,5 1 2
y' = -0,25 0 8 - -4
Минимум функции в точке х = 0.
Максимума функции нет.
Возрастает на промежутке: x ϵ (0; 1).
Убывает на промежутках: (-∞; 0) (1; +∞)..
Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 1.
Находим пределы при х→1_(-0) и х→1_(+0).
lim┬(x→1)〖(2x-1)/(x-1)^2 =∞〗.
Так как в точке х = 1 функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением х = 1, является вертикальной асимптотой графика.
Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.
6. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.
y^''=(2(2x+1))/(x-1)^4 =0.
Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2.
Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)).
7. Интервалы выпуклости, вогнутости:
Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции:
x ϵ (-∞; (-1/2)) U ((-1/2); 1) U (1; +∞).
Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
x = -1 -0,5 0,5 1 2
y'' = -0,125 0 64 - 10
Выпуклая на промежутке: (-∞; (-1/2)).
Вогнутая на промежутках: ((-1/2); -1) и (-1; ∞).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 1.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim┬(x→∞)〖2x/(x-1)^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
lim┬(x→-∞)〖2x/(x-1)^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k= lim┬(x→∞)〖(2x-1)/((x-1)^2 x)=(2x-1)/(x^3-2x^2+x)=(2x/x^3 -1/x^3 )/(x^3/x^3 -(2x^2)/x^3 +x/x^3 )=(0-0)/(1-0+0)=0.〗
Так как коэффициент к = 0, то наклонной асимптоты нет, она совпадает с осью Ох при x→∞.
9. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f-x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Таблица точек
x y
-4.0 -0.36
-3.5 -0.4
-3.0 -0.44
-2.5 -0.49
-2.0 -0.56
-1.5 -0.64
-1.0 -0.75
-0.5 -0.89
0 -1
0.5 0
1.0 -
1.5 8
2.0 3
2.5 1.78
3.0 1.25
3.5 0.96
4.0 0.78
4.5 0.65
5.0 0.56
5.5 0.49
6.0 0.44
Пошаговое объяснение:
Следствия движения Земли вокруг своей оси:
1. 1. При вращении Земли возникает центробежная сила, которая играет важную роль в формировании фигуры планеты и тем самым уменьшает силу притяжения.
2. 2. Происходит смена дня и ночи.
3. 3. Появляется отклонение тел от направления их движения, этот процесс был назван сила Кориолиса (в честь французского ученого, открывшего это явление в 1835 году). Все тела по инерции стремятся сохранить направление своего движения. Если движение происходит относительно перемещающейся поверхности происходит отклонение этого тела слегка в сторону. Все тела, движущиеся в северном полушарии отклоняются вправо, в южном полушарии – влево. Данная сила проявляется во многих процессах: она изменяет движение воздушных масс, морских течений. По этой причине происходит подмыв правых берегов в северном полушарии и левых берегов в южном полушарии.
4. 4. С осевым движением связаны явления суточной ритмичности и биоритмы. Суточный ритм связан со световыми и температурными условиями. Биоритмы – это важный процесс в развитии и существовании жизни. Без них невозможны фотосинтез, жизнедеятельность дневных и ночных животных и растений и, конечно же, жизнь самого человека (люди совы, люди жаворонки).
Значение астрономического положения Земли для ее природы: 1. вследствие осевого и орбитального вращения Земли все природные процессы имеют свои ритмы. 2. температурный режим Земли благоприятный. 3. спутник Земли – Луна вызывает приливы и отливы. С вращением Земли связана единственная единица измерения времени – сутки, а также смена дня и ночи. С этим процессом связано понятие о времени. Время бывает местным, поясным, декретным, летним и зимним. Местным временем принято называть время на одном меридиане. Различия между меридианами стоящими рядом составляет 4 минуты, следовательно, через один градус время меняется на 4 минуты. Наличие в различных пунктах, лежащих на разных меридианах, своего времени приводило к различным неудобствам, поэтому на Международном астрономическом конгрессе в 1884 году был принят поясной счет времени. Для этого всю поверхность Земли разделили на 24 часовых пояса по 15 градусов каждый. За поясное время принято брать среднее время меридиана каждого пояса. Отсчет производится от Нулевого или Гринвичского меридиана, проходящего через обсерваторию города Гринвич, расположенного недалеко от Лондона. Время начального меридиана принято в качестве всемирного времени. Счет времени ведется с запада на восток. Границы часовых поясов на суше для удобства проведены не строго по меридианам, а по естественным рубежам (горам, рекам, административным границам). С 1981 года наша страна для экономии электроэнергии перешла на так называемое летнее время, когда стрелки часов в последнее воскресенье апреля переводят на один час вперед. В конце октября стрелки переводят на один час назад – это время называется зимним. Время второго часового пояса, в котором расположена Москва, называется московским. По московскому времени в нашей стране составляется расписание движения поездов, самолетов, отмечают время на телеграммах. Меридиан 180 градус принят за международную линию перемены дат. Эта условная линия на поверхности земного шара, по обе стороны от которой часы и минуты совпадают, а календарные даты отличаются на одни сутки. Например, Новый год к западу от этой линии начинается 1 января, а к востоку 31 декабря. При пересечении границы дат с запада на восток в счете календарных дней возвращаются на одни сутки назад, а с востока на запад – одни сутки в счете пропускаются.