Question

Вычислить двойной интеграл (x+y) dxdy, если область d ограничена линиями y=3-x^2, y=x-1. , !

Answer 1

$\displaystyle \frac{89\cdot \sqrt{17}}{30}$

Пошаговое объяснение:

Сначала определим область D. Для этого находим точки пересечения линий y₁=3-x² и y₂=x-1. Для этого приравниваем функции:

y₁=y₂ ⇔ 3-x²=x-1 ⇔ x²+x-4=0: D=1²-4·1·(-4)=1+16=17,

x₁=(-1-√17)/2, x₂=(-1+√17)/2. Отсюда:

x₂+x₁= -1; x₂-x₁= √17; x₂·x₁=-4;x₂²-x₁²= -√17; x₂²+x₁²= 18.

Теперь область D можно выразить системой неравенств:

$\displaystyle D: \left \{ {{x_{1} \leq x \leq x_{2}} \atop {x-1} \leq y \leq 3-x^{2}}} \right.$

Тогда

$\displaystyle \int_{(D)} \int \limits {(x+y}) \, dxdy=\int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \, dx \int\limits^{3-x^{2} }_{x-1} {(x+y)} \, dy = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ [ {(x \cdot y+\frac{y^{2} }{2} )} \ /^{3-x^{2} }_{x-1} ] \, dx =\\\\ = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ [ {(x \cdot (3-x^{2}-(x-1))+\frac{(3-x^{2})^{2}}{2} -\frac{(x-1)^{2}}{2} } ] \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ ( {3\cdot x-x^{3}-x^{2}+x+\frac{9-2\cdot x^{2}+x^{4}}{2}-\frac{x^{2}-2\cdot x+1}{2} ) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ ( {4\cdot x-x^{3}-x^{2}+\frac{9-1+2\cdot x^{2}-x^{2}+x^{4}+2 \cdot x}{2}) \, dx =$

$\displaystyle =(\frac{5\cdot x_{2}^{2}}{2} - \frac{x_{2}^{4}}{4}+4\cdot x_{2}-\frac{x_{2}^{3}}{6}+\frac{x_{2}^{5}}{10})-(\frac{5\cdot x_{1}^{2}}{2} - \frac{x_{1}^{4}}{4}+4\cdot x_{1}-\frac{x_{1}^{3}}{6}+\frac{x_{1}^{5}}{10})=$

$\displaystyle =(\frac{5\cdot x_{2}^{2}}{2} -\frac{5\cdot x_{1}^{2}}{2} )-( \frac{x_{2}^{4}}{4}-\frac{x_{1}^{4}}{4})+4\cdot (x_{2}-x_{1})-(\frac{x_{2}^{3}}{6}-\frac{x_{1}^{3}}{6})+(\frac{x_{2}^{5}}{10}-\frac{x_{1}^{5}}{10})=$

$\displaystyle =\frac{5}{2} \cdot(x_{2}^{2} -x_{1}^{2})-\frac{1}{4} \cdot(x_{2}^{4} -x_{1}^{4})+4\cdot (x_{2}-x_{1})-\frac{1}{6}\cdot(x_{2}^{3}-x_{1}^{3})+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=$

$\displaystyle =\frac{5}{2} \cdot(-\sqrt{17})-\frac{1}{4} \cdot(x_{2}^{2} -x_{1}^{2})\cdot(x_{2}^{2} +x_{1}^{2})+4\cdot \sqrt{17} -\frac{1}{6}\cdot(x_{2}^{3}-x_{1}^{3})+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=$

$\displaystyle =\frac{3\cdot \sqrt{17}}{2} -\frac{1}{4} \cdot(-\sqrt{17})\cdot 18-\frac{1}{6}\cdot(x_{2}-x_{1})\cdot(x_{2}^{2}+x_{2}\cdot x_{1}+x_{1}^{2})+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=$

$\displaystyle =6\cdot \sqrt{17} -\frac{1}{6}\cdot\sqrt{17}\cdot(18-4)+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=\frac{11}{3}\cdot\sqrt{17}+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=$

$\displaystyle =\frac{11}{3}\cdot\sqrt{17}+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}-x_{1})\cdot(x_{2}^{4}+ x_{2}^{3}\cdot x_{1}+x_{2}^{2}\cdot x_{1}^{2}+x_{2}\cdot x_{1}^{3}+x_{1}^{4})=$

$\displaystyle =\frac{11}{3}\cdot\sqrt{17}+\frac{1}{10}\cdot \sqrt{17}\cdot(17+2\cdot 16-4\cdot 18+16)=\\\\=\frac{11}{3}\cdot\sqrt{17}-\frac{7\cdot \sqrt{17}}{10}=\frac{89\cdot \sqrt{17}}{30}$