Question

Дослідити функції на экстрему і будувати графік

у=1/3(х^3)+1/2(х^2) - 6х+1

Answer 1

ответ Замятина -  сила Разума - лишнее вычеркнуть.

ДАНО: Y(x) = 0,33*x³ + 0,5*x²  -6*x + 1.

ИССЛЕДОВАНИЕ.  

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Функция третьего порядка - должно быть три корня.

Применим тригонометрическую формулу Виета.

Разложим многочлен на множители. Y=(x+5,13)*(x-0,17)*(x-3,46)

Нули функции: Х₁ = -5,13, Х₂ =0,17,  Х₃ =3,46

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-5,13]U[0,17;3,46]  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-5,13;0,17]U[3,46;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   1

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x) - не нечётная.

9. Поиск экстремумов по первой производной.    

Y'(x) = x² + x - 6 = 0  - квадратное уравнение.

Корни Y'(x)=0.     Х₄ = -3    Х₅= 2

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄=  -3) = 14,5.  

Минимум - Ymin(X₅ =  2) = -6,33

11. Интервалы монотонности.

Возрастает Х∈(-∞;-3;]U[2;+∞) , убывает - Х∈[-3;2]

12. Вторая производная - Y"(x) = 2* x + 1 = 0

Корень производной - точка перегиба  Х₆= -0,5

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = -0,5]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = -0,5; +∞).

14. График в приложении.

Ещё раз напоминание о результатах исследования -

лишнее запомнить и удалить