С 1973 по 1978 год училась в МГУ. С 1987 по 1988 год издавала самиздатские журналы «Парадигма» (совместно с Глебом Цвелем) и «МДП». В конце 1980-х примкнула к группе московских художников и поэтов — концептуалистов и принимала участие в их первых выставках. Позже выступала с музыкально-поэтическими представлениями, например, с культовым джазовым музыкантом Сергеем Летовым и ансамблем «Три О». Была участницей и организатором многих выставок, музыкально‑поэтических перформансов, поэтических фестивалей как в России, так и за рубежом. В 1994 организовала свой собственный «поэтический ансамбль», в представлениях которого сочетались элементы музыки и поэзии. Считается признанным мастером визуальной поэзией и перформанса. Была так
же куратором сайта «Женщины и новаторство в России».Альчук была членом Союза литераторов России, русского ПЕН-клуба, Международной академии зауми (2002). Стихи и визуальные тексты Анны Альчук публиковались в журналах «Черновик», «Новое литературное обозрение». Её статьи и эссе о визуальной поэзии и о современном изобразительном искусстве публиковались в ведущих журналах России, в том числе в журнале «Иностранная литература». Она была редактором‑составителем сборника статей «Женщина и визуальные знаки» (2000). Её тексты переведены на многие языки. Выставки её художественных работ были организованы как в России, так и в Великобритании, Германии, Венгрии и Швеции.
Анна Альчук была одной из обвиняемых в процессе над организаторами выставки «Осторожно, религия!» в музее Сахарова (январь 2003 года), признанной судом оскорбляющей чувства верующих. Процесс над организаторами выставки длился около двух лет. Директор Музея и общественного центра имени Сахарова Юрий Самодуров и сотрудница центра Людмила Василовская были признаны Таганским судом Москвы виновными в разжигании национальной и религиозной вражды (ст. 282 УК РФ); с каждого из них был взыскан штраф в размере ста тысяч рублей. Обвинявшаяся по той же статье Анна Альчук была оправдана.С ноября 2007 года жила в Берлине вместе с мужем, философом Михаилом Рыклиным. 21 марта 2008 года Анна Альчук, выйдя на прогулку, исчезла. 10 апреля 2008 года её тело было обнаружено в реке Шпрее.
