Задать вопрос нужно. Этот вопрос - где. Где - вопрос предложного падежа, библиотека - первое спряжение, у первого спряжения в предложном падеже всегда «е» на конце.
1скл. 2скл. 3скл. м.р.-[а] ср.р.[о,е] ж.р.-[ ] ж.р.-[я] м.р.-[ ] Склонение по падежам: 1. Существительные мужского рода и среднего рода. с суффиксом -ищ- в именительном падеже единственного чесла имеют окончание -е; сущиствительного женского рода. — например:
домище, ведрище, жарища.
2. Существительные с суффиксами -ушк-, -юшк-, -ышк-, -шик- в именительном падеже единственного числа имеют окончание -а, если это одушевленные существительные мужской род или женский род., например:
сынишка, братишка, матушка, вдовушка.
Окончание -о характерно для неодушевленных существительных мужского и среднего рода.: домишко, крылышко.
3. У существительных на -ья, -ье, имеющих в именительном падеже. единственного числа ударение на основе, в род. пишется -ий:
певунья — певуний, поместье — поместий;
если же они в именительном падеже единственного числа имеют ударение на окончании, то в род пишется -ей:
семья — семей, ружьё — ружей. Исключение: копьё — копий.
4. Существительные всех трех родов с основой на -имеют окончание -и:
в санатории, об армии, на здании (но: на острие — под ударением).
У существительных среднего рода. на -ье пишется -е:
Подмосковье — в Подмосковье, платье — в платье.
Исключение: в забытьи — под ударением.
Существительные женского рода. 3-го склонения в этой форме имеют окончание -и:
на печи.
5. Русские фамилии на -ов (-ев), -ев, -ин, -ын в тварительном падеже единственного числа имеют окончание -ым, например:
Ивановым, Сергеевым, Спицыным, Бородиным.
Названия населенных пунктов на -ов, -ев, -ово, -ево, -ын, -ин в тварительном падеже имеют окончание -ом, например:
под Царицыном, под Сормовом, под Львовом, под Бородином.
Это нужно запомнить, потому что Д.п