Question

Решите дифференциальное уравнение

Answer 1

1) Данное дифференциальное уравнение сведён к уравнению с разделёнными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения

$\displaystyle \int y^5dy=\int x\cdot2^xdx$

В правой части уравнения решим интеграл по частям

$\displaystyle \int x\cdot 2^xdx=\left\{\begin{array}{ccc}u=x;~~~ dv=2^xdx\\ \\ du=dx;~~~ v=\dfrac{2^x}{\ln 2}\end{array}\right\}=x\cdot \dfrac{2^x}{\ln2}-\int \dfrac{2^x}{\ln 2}dx=\\ \\ \\ =\dfrac{2^x\cdot x}{\ln 2}-\dfrac{2^x}{\ln^22}+C$

Получаем $\dfrac{y^6}{6}=\dfrac{2^x\cdot x}{\ln 2}-\dfrac{2^x}{\ln^22}+C$— общий интеграл.

2) Здесь дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{dx}=2x\cdot 5^x\\ \\ \displaystyle \int dy=\int 2x\cdot 5^xdx$

Снова же в правой часть уравнения решим интеграл по частям

$\displaystyle \int 2x\cdot 5^xdx=\left\{\begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\\ \\ dv=5^xdx;~~~ v=\dfrac{5^x}{\ln 5}\end{array}\right\}=2x\cdot \dfrac{5^x}{\ln 5}-2\int \dfrac{5^x}{\ln 5}dx=\\ \\ \\ =\dfrac{2x\cdot 5^x}{\ln 5}-\dfrac{2\cdot 5^x}{\ln^25}+C$

Получаем $y=\dfrac{2x\cdot 5^x}{\ln 5}-\dfrac{2\cdot 5^x}{\ln^25}+C$— общее решение.