Question

Вцехе работает 19 человек . сколькими можно сформировать бригаду из 8 человека если иван николаевич и николай иванович не могут выходить в бригаду одновременно
с формулами ​

Answer 1

Для решения этой задачи, можно воспользоваться комбинаторикой и принципом включения-исключения.

В данной задаче, нам нужно сформировать бригаду из 8 человек, но Иван Николаевич и Николай Иванович не могут быть в бригаде одновременно.

Сначала посмотрим, сколько всего возможных комбинаций можно составить из 19 человек по 8 человек. Для этого воспользуемся формулой сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где n - общее количество элементов, а k - количество элементов, которые мы выбираем.

C(19, 8) = 19! / (8! * (19-8)!)
= 19! / (8! * 11!)
= (19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12) / (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 75582

Таким образом, всего возможно сформировать 75582 комбинации из 19 человек по 8.

Теперь рассмотрим случаи, когда Иван Николаевич и Николай Иванович не могут быть вместе в бригаде. Для этого воспользуемся принципом включения-исключения.

Пусть A - событие, когда Иван Николаевич и Николай Иванович вместе в бригаде.
Пусть B - событие, когда Иван Николаевич в бригаде.
Пусть C - событие, когда Николай Иванович в бригаде.

Из принципа включения-исключения имеем:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Здесь |A ∪ B ∪ C| - общее число комбинаций, в которые попадают все случаи.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

A: В бригаде должны быть и Иван Николаевич и Николай Иванович. Это означает, что мы выбираем 6 человек из оставшихся 17 (после исключения двух запретных). Используем формулу сочетаний:

C(17, 6) = 17! / (6! * (17-6)!)
= 17! / (6! * 11!)
= (17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 12376

B: В бригаде должен быть только Иван Николаевич. Здесь мы выбираем 7 человек из оставшихся 17 (после исключения двух запретных). Используем формулу сочетаний:

C(17, 7) = 17! / (7! * (17-7)!)
= 17! / (7! * 10!)
= (17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 4368

C: В бригаде должен быть только Николай Иванович. Здесь мы выбираем 7 человек из оставшихся 17 (после исключения двух запретных). Используем формулу сочетаний:

C(17, 7) = 17! / (7! * (17-7)!)
= 17! / (7! * 10!)
= (17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 4368

A ∩ B: В бригаде должны быть и Иван Николаевич и Николай Иванович. Здесь мы выбираем 5 человек из оставшихся 17 (после исключения двух запретных). Используем формулу сочетаний:

C(17, 5) = 17! / (5! * (17-5)!)
= 17! / (5! * 12!)
= (17 * 16 * 15 * 14 * 13) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 6188

A ∩ C: В бригаде должны быть и Иван Николаевич и Николай Иванович. Здесь мы выбираем 5 человек из оставшихся 17 (после исключения двух запретных). Используем формулу сочетаний:

C(17, 5) = 17! / (5! * (17-5)!)
= 17! / (5! * 12!)
= (17 * 16 * 15 * 14 * 13) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 6188

B ∩ C: В бригаде должно быть только Николай Иванович. Здесь мы выбираем 6 человек из оставшихся 17 (после исключения двух запретных). Используем формулу сочетаний:

C(17, 6) = 17! / (6! * (17-6)!)
= 17! / (6! * 11!)
= (17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 12376

A ∩ B ∩ C: Здесь нам нужно выбрать 4 человек из оставшихся 17 (после исключения двух запретных). Используем формулу сочетаний:

C(17, 4) = 17! / (4! * (17-4)!)
= 17! / (4! * 13!)
= (17 * 16 * 15 * 14) / (4 * 3 * 2 * 1)
= 2380

Подставляем полученные значения в формулу принципа включения-исключения:

|A ∪ B ∪ C| = 12376 + 4368 + 4368 - 6188 - 6188 + 12376 - 2380
= 27532

Таким образом, можно сформировать 27532 бригад из 19 человек, при условии, что Иван Николаевич и Николай Иванович не могут быть вместе в бригаде.