Добрый день! Рад, что ты задаешь такой интересный вопрос. Давай разберем его пошагово и рассмотрим, как можно найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
1. Сначала нарисуем график обоих функций, чтобы визуально представить, какие у нас есть линии и как они пересекаются.
График функции у=-х^2+6х-11 представляет собой параболу с "головой" вниз. Ее вершина находится в точке (3, -14), а отрицательный коэффициент при х^2 означает, что парабола открывается вниз.
График функции у=-6 является горизонтальной линией на уровне y=-6.
2. Теперь найдем точки пересечения этих двух функций. Эти точки будут являться границами фигуры, ограниченной этими линиями.
Подставим у=-6 в формулу у=-х^2+6х-11 и решим уравнение:
-6 = -х^2+6х-11
Приведем уравнение к стандартному виду:
х^2 - 6х + 5 = 0
Разложим на множители:
(х-1)(х-5) = 0
Таким образом, у нас есть две точки пересечения: х=1 и х=5.
3. Теперь мы можем найти соответствующие значения y для каждой из этих точек, подставив их в одну из уравнений.
Для х=1:
у = -(1)^2+6(1)-11 = -6
Для х=5:
у = -(5)^2+6(5)-11 = -6
Обрати внимание, что оба значения у равны -6.
4. Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (1, -6) и (5, -6), которые определяют границы фигуры.
5. Для вычисления площади фигуры можно воспользоваться формулой площади между двумя кривыми:
S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,
где a и b - координаты точек пересечения, f(x) и g(x) - уравнения кривых.
В нашем случае у нас есть две горизонтальные линии, поэтому формула упрощается:
S = ∫[a,b] (h - g(x)) dx,
где h - верхняя линия (в нашем случае y = -6), g(x) - нижняя линия (в нашем случае у = -х^2+6х-11).
6. Подставляем значения a=1, b=5, h=-6 и g(x)=-х^2+6х-11 и решаем интеграл:
S = ∫[1,5] (-6 - (-х^2+6х-11)) dx,
S = ∫[1,5] (-6 + х^2-6х+11) dx,
S = ∫[1,5] (х^2-6х+5) dx.
Интегрируем:
S = (1/3)x^3 - 3х^2 +5х + С,
где С - постоянная интегрирования.
7. Теперь найдем площадь фигуры, вычисляя разность значений этого выражения в точках b и a:
Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х^2+6х-11 и у = -6, примерно равна 90.33334 квадратных единиц.
Это подробное объяснение должно помочь тебе понять, как найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Если что-то не ясно, обязательно спрашивай!
1. Сначала нарисуем график обоих функций, чтобы визуально представить, какие у нас есть линии и как они пересекаются.
График функции у=-х^2+6х-11 представляет собой параболу с "головой" вниз. Ее вершина находится в точке (3, -14), а отрицательный коэффициент при х^2 означает, что парабола открывается вниз.
График функции у=-6 является горизонтальной линией на уровне y=-6.
2. Теперь найдем точки пересечения этих двух функций. Эти точки будут являться границами фигуры, ограниченной этими линиями.
Подставим у=-6 в формулу у=-х^2+6х-11 и решим уравнение:
-6 = -х^2+6х-11
Приведем уравнение к стандартному виду:
х^2 - 6х + 5 = 0
Разложим на множители:
(х-1)(х-5) = 0
Таким образом, у нас есть две точки пересечения: х=1 и х=5.
3. Теперь мы можем найти соответствующие значения y для каждой из этих точек, подставив их в одну из уравнений.
Для х=1:
у = -(1)^2+6(1)-11 = -6
Для х=5:
у = -(5)^2+6(5)-11 = -6
Обрати внимание, что оба значения у равны -6.
4. Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (1, -6) и (5, -6), которые определяют границы фигуры.
5. Для вычисления площади фигуры можно воспользоваться формулой площади между двумя кривыми:
S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,
где a и b - координаты точек пересечения, f(x) и g(x) - уравнения кривых.
В нашем случае у нас есть две горизонтальные линии, поэтому формула упрощается:
S = ∫[a,b] (h - g(x)) dx,
где h - верхняя линия (в нашем случае y = -6), g(x) - нижняя линия (в нашем случае у = -х^2+6х-11).
6. Подставляем значения a=1, b=5, h=-6 и g(x)=-х^2+6х-11 и решаем интеграл:
S = ∫[1,5] (-6 - (-х^2+6х-11)) dx,
S = ∫[1,5] (-6 + х^2-6х+11) dx,
S = ∫[1,5] (х^2-6х+5) dx.
Интегрируем:
S = (1/3)x^3 - 3х^2 +5х + С,
где С - постоянная интегрирования.
7. Теперь найдем площадь фигуры, вычисляя разность значений этого выражения в точках b и a:
S = (1/3)(5^3) - 3(5^2) + 5(5) - ((1/3)(1^3) - 3(1^2) + 5(1)),
S = (1/3)(125) - 3(25) + 25 - ((1/3)(1) - 3(1) + 5),
S = 41.66667 - 75 + 25 - (0.33333 - 3 + 5),
S = 41.66667 - 75 + 25 - (1.33333),
S = 91.66667 - 1.33333,
S ≈ 90.33334.
Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х^2+6х-11 и у = -6, примерно равна 90.33334 квадратных единиц.
Это подробное объяснение должно помочь тебе понять, как найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Если что-то не ясно, обязательно спрашивай!