Question

Составить каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен 1/2, директрисы уравнениями y=5 и y=-3, зная, что этот эллипс проходит через точку (2,3)​

Answer 1

Привет! Давай решим эту задачу пошагово.

Первым шагом для составления канонического уравнения эллипса будет определение параметров эллипса. Для этого нам понадобятся директрисы и эксцентриситет.

Директрисы являются линиями, расположенными симметрично по отношению к эллипсу и служат определению его формы. В данном случае, у нас две директрисы: y=5 и y=-3.

Эксцентриситет обозначает, насколько сильно эллипс отличается от окружности. Если эксцентриситет равен 0, то эллипс является окружностью, а если равен 1, то это уже парабола или гипербола. В данной задаче эксцентриситет равен 1/2.

Теперь перейдем к составлению уравнения эллипса.

Первым шагом найдем положение фокусов эллипса. Для этого нам понадобится формула, связывающая фокусное расстояние c, большую полуось a и эксцентриситет e эллипса:

c = a * e

Так как эксцентриситет равен 1/2, то

c = a * (1/2)

Теперь определим положение фокусов. Так как директрисы находятся на расстоянии e от фокусов, мы можем определить координаты фокусов как (0, 5/2) и (0, -3/2).

Теперь у нас есть информация о фокусах и директрисах, перейдем к использованию этой информации для составления уравнения эллипса.

Каноническое уравнение эллипса имеет следующий вид:

(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1

где (h, k) - это координаты центра эллипса, a - половина большой оси, и b - половина малой оси.

Наш эллипс проходит через точку (2,3), поэтому мы можем использовать эту информацию для определения значения a.

Подставим (2,3) в уравнение эллипса:

(2-h)^2/a^2 + (3-k)^2/b^2 = 1

которое мы можем рассматривать как уравнение с двумя неизвестными (h и k).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:

(2-h)^2/a^2 + (3-k)^2/b^2 = 1 - (1)
(h-0)^2 + (k-5/2)^2 = (1/2a)^2 - (2)

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения переменных. Я предложу использовать метод подстановки.

Из уравнения (2) можем найти значение k:

k = 5/2 ± sqrt((1/2a)^2 - (h-0)^2)

Теперь подставим это значение k в уравнение (1):

(2-h)^2/a^2 + (3 - (5/2 ± sqrt((1/2a)^2 - (h-0)^2)))^2/b^2 = 1

Теперь у нас есть уравнение только с одной неизвестной h. Решив его, мы найдем значение h. Затем, подставив найденное значение h в уравнение (2), мы сможем найти значение a.

После того, как мы найдем значения h и a, мы сможем подставить их в уравнение (2) и найти значение b.

Итак, шаги:
1. Определить фокусы эллипса с помощью формулы c = a * e.
2. Определить координаты фокусов, учитывая директрисы и расстояние e от фокусов.
3. Рассмотреть каноническое уравнение эллипса и определить неизвестные (h, k) и (a, b) с помощью заданных условий и найденных значений.
4. Используя уравнения (1) и (2), решить систему уравнений для определения h и a.
5. Подставить найденные значения h и a в уравнение (2) для определения b.
6. Проверить полученное каноническое уравнение эллипса, подставив значения h, k, a и b, чтобы убедиться, что точка (2,3) принадлежит эллипсу.

Надеюсь, я дал достаточно подробное объяснение. Если есть еще вопросы, не стесняйся задавать!