Question

Используя свойства эквивалентных бесконечно малых величин, вычислить предел функции

Answer 1

Здесь будем использовать второй замечательный предел.

$\displaystyle \lim_{x \to 3}\lg(x+7)^{\frac{1}{x-3}}=\lim_{x \to 3}\Big(1+\lg(x+7)-1\Big)^{\frac{1}{x-3}\cdot \frac{\lg(x+7)-1}{\lg(x+7)-1}}=\\ \\ =e^{\lim_{x \to 3}\frac{\lg(x+7)-1}{x-3}}=e^{\lim_{x \to 3}\frac{\lg(x+7)-\lg10}{x-3}}=e^{\lim_{x \to 3}\frac{\lg\frac{x+7}{10}}{x-3}}=e^{\lim_{x \to 3}\frac{\lg(1+\frac{x-3}{10})}{x-3}}\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x \to 3}\frac{\frac{x-3}{10\ln10}}{x-3}}=e^\big{\frac{1}{10\ln 10}}$