Для начала, давайте разберемся, что такое производная функции. Производная — это показатель того, как быстро меняется функция в каждой точке. Если функция представлена в виде уравнения, то производная помогает нам найти уравнение, описывающее скорость изменения функции.
Чтобы найти производную функции, мы используем определенные правила и формулы. Давайте рассмотрим каждую из функций, о которых вы написали, и найдем их производные.
231.
a) y = 3x^2 - 2x + 5
Для начала, давайте вспомним правило для нахождения производной степенной функции: производная функции x^n равна n*x^(n-1).
Применяя это правило, найдем производную для каждого члена уравнения:
Первый член: производная от 3x^2 равна 2*3*x^(2-1) = 6x.
Второй член: производная от -2x равна -2.
Третий член: производная от 5 равна 0, так как константа не меняется.
Теперь, чтобы найти полную производную, нужно сложить производные от каждого члена:
Производная функции y = 3x^2 - 2x + 5 равна 6x - 2.
b) y = 4sin(x) + 2cos(x)
Здесь мы имеем сумму двух функций, поэтому для нахождения производной каждого члена нужно применить правило суммы производных.
Первый член: производная от 4sin(x) равна 4*cos(x), поскольку производная синуса равна косинусу.
Второй член: производная от 2cos(x) равна -2*sin(x), поскольку производная косинуса равна минус синусу.
Теперь сложим производные от каждого члена:
Производная функции y = 4sin(x) + 2cos(x) равна 4*cos(x) - 2*sin(x).
232.
a) y = 2x^3 - 3x^2 + 4x
Теперь вспомним правило для нахождения производной степенной функции: производная функции x^n равна n*x^(n-1).
Первый член: производная от 2x^3 равна 3*2*x^(3-1) = 6x^2.
Второй член: производная от -3x^2 равна -2*3*x^(2-1) = -6x.
Третий член: производная от 4x равна 4.
Производная функции y = 2x^3 - 3x^2 + 4x равна 6x^2 - 6x + 4.
b) y = 5e^x - 2ln(x)
Здесь мы имеем разность двух функций, поэтому для нахождения производной каждого члена нужно применить правило разности производных.
Первый член: производная от 5e^x равна 5*e^x, поскольку производная экспоненциальной функции равна самой функции.
Второй член: производная от -2ln(x) равна -2*(1/x), поскольку производная натурального логарифма равна 1/x.
Теперь вычитаем производные от каждого члена:
Производная функции y = 5e^x - 2ln(x) равна 5*e^x - 2/x.
233.
a) y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 2x
Для нахождения производной этой функции снова применим правило для степенных функций.
Первый член: производная от x^4 равна 4*x^(4-1) = 4x^3.
Второй член: производная от -4x^3 равна -3*4*x^(3-1) = -12x^2.
Третий член: производная от 6x^2 равна 2*6*x^(2-1) = 12x.
Четвертый член: производная от -2x равна -2.
Теперь сложим производные от каждого члена:
Производная функции y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 2x равна 4x^3 - 12x^2 + 12x - 2.
b) y = 3ln(x) + 2e^x
Здесь мы также имеем сумму двух функций.
Первый член: производная от 3ln(x) равна 3*(1/x), поскольку производная натурального логарифма равна 1/x.
Второй член: производная от 2e^x равна 2*e^x, поскольку производная экспоненциальной функции равна самой функции.
Теперь сложим производные от каждого члена:
Производная функции y = 3ln(x) + 2e^x равна 3*(1/x) + 2*e^x.
Надеюсь, я смог подробно объяснить, как найти производную каждой из функций. Если у вас возникли дополнительные вопросы или что-то не ясно, не стесняйтесь задавать их!
решение на фотографии