Question

Даны три некомпланарных вектора: а( 3 ; 3; 4 ), б(-2 ; 0 ; 2 ), с ( 5 ; -3;2 ). Разложите вектор д ( 3; 6 ;4 ) по данным векторам

Answer 1

Запишем искомое разложение вектора d:

$\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$

$x\vec{a}=\{3x; \ 3x; \ 4x\}\\y\vec{b}=\{-2y; \ 0; \ 2y\}\\z\vec{c}=\{5z; \ -3z; \ 2z\}$

$\vec{d}=\{3; \ 6; \ 4\}$

Составим систему, пользуясь тем, что координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов:

$\begin{cases} 3x-2y+5z=3 \\ 3x-3z=6 \\ 4x+2y+2z=4\end{cases}$

$\begin{cases} 3x-2y+5z=3 \\ x-z=2 \\ 2x+y+z=2\end{cases}$

Из второго уравнения выразим х:

$x=z+2$

Подставляем в оставшиеся уравнения:

$\begin{cases} 3(z+2)-2y+5z=3 \\ 2(z+2)+y+z=2\end{cases}$

$\begin{cases} 3z+6-2y+5z=3 \\ 2z+4+y+z=2\end{cases}$

$\begin{cases} 8z-2y=-3 \\ 3z+y=-2\end{cases}$

Из второго уравнения выражаем у:

$y=-2-3z$

Подставляем в первое, находим z:

$8z-2(-2-3z)=-3\\8z+4+6z=-3\\14z=-7\\\Rightarrow z=-\dfrac{1}{2}$

Находим у:

$y=-2-3z\\y=-2-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}$

Находим х:

$x=z+2\\x=-\dfrac{1}{2}+2\\\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$

Разложение вектора d:

$\boxed{\vec{d}=\dfrac{3}{2} \vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{c}}$