Question

Решить дифференциальное уравнение:

y'+2xy=2

Answer 1

Перепишем данное дифференциальное уравнение в виде:

$\dfrac{y'}{y^3}+\dfrac{2x}{y^2}=2x^3$

Введём замену $u=\dfrac{1}{y^2}$, дифференцируя: $u'=-\dfrac{2y'}{y^3}$, получаем

$u'-4ux=-4x^3$

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель $e^{\int -4x dx}=e^{-2x^2}$

$u'\cdot e^{-2x^2}+\Big(-4xe^{-2x^2}\Big)\cdot y=4x^3e^{-2x^2}\\ \\ \Big(u\cdot e^{-2x^2}\Big)'=-4x^3e^{-2x^2}\\ \\ \\ u\cdot e^{-2x^2}=\displaystyle -\int 4x^3e^{-2x^2}dx=[po~~ chastyam]=\dfrac{2x^2+1}{2}e^{-2x^2}+C\\ \\ \\ u=\dfrac{2x^2+1}{2}+Ce^{2x^2}$

Выполним обратную замену

$\dfrac{2x^2+1}{2}+Ce^{2x^2}=\dfrac{1}{y^2}$ — общий интеграл