Подробное объяснение: 1) Ищем нули функции: первая скобка равна нулю при х=-2 вторая скобка равна нулю при х=4 2) Рисуем числовую ось и расставляем на ней найденные нули функции - точки -2 и 4 (-2)(4) Точки рисуем с пустыми кружочками ("выколотые"), т.к. неравенство у нас строгое (знак < )
3) Начинаем считать знаки на каждом интервале, начиная слева-направо. Для этого берём любую удобную для подсчёта точку из интервала, подставляем её вместо икс и считаем знак: 1. х=-100 -100+2 <0 знак минус -100-4 <0 знак минус минус*минус=плюс Ставим знак плюс в крайний левый интервал + (-2)(4)
2. аналогично, х=0 0+2 >0 знак плюс 0-4 <0 знак минус плюс*минус=минус + _ (-2)(4)
3. x=100 100+2>0 знак плюс 100-4>0 знак плюс плюс*плюс=плюс + - + (-2)(4)
Итак, знаки на интервалах мы расставили. Смотрим на знак неравенства: < 0 Значит, нам надо взять только те интервалы, где стоят минусы. В данном случае, такой интервал один (-2;4) Это и есть ответ.
Теперь краткая запись решения: (х+2)(х-4)<0 + - + (-2)(4)
2*4^x-3*10^x=5*25^xРазделим правую и левую части на 25^x. Получим 4^x 10^x2 - 3 = 5 25^x 25^x Так как степени у числетелей и знаменателей одинаковые можно поступить следующим образом 2* (4 : 25)^х - 3*(10 : 25)^х = 5Во второй дроби можно сократить 10 и 25 на 5. Получаем 2* (4 : 25)^х - 3*(2 : 5)^х = 5 Так как 4 = 2^2, a 25 = 5^2, получим следующее 2* (2 : 5)^2х - 3*(2 : 5)^х = 5 Введем новую переменную t = (2 : 5)^хПолучим новое уравнение2*t^2 - 3*t = 52*t^2 - 3*t - 5 = 0Решаем через дискриминант. a = 2, b = -3, c = -5D = b^2 -4ac = 9 - 4*2*(-5) = 9 + 40 = 49t(1) = (3 - 7) : 4 = -1t(2) = (3 + 7) : 4 = 2,5 x = -1 нам не подходит, так как ни при каких х (2 : 5)^х не будет отрицательным.Тогда получаем (2 : 5)^х = t(2) (2 : 5)^х = 5 : 2 (2 : 5)^х = (2 : 5)^(-1) х = -1 ответ: х = -1
Исследование проводится по следующей примерной схеме:
1) выяснение области определения функции.
Знаменатель дроби не должен равняться 0:
(х² - 4) ≠ 0, х ≠ +-2.
х ∈ (-∞; -2)∪(-2; 2)∪(2; +∞).
2) решается вопрос о четности или нечетности функции.
f(-
х) = -x³/(x² - 4) = -f(x), значит, функция нечётная.
3) исследуется периодичность функции - не периодичная.
4) находят точки пересечения кривой с осями координат (нули функции). х = 0, у = 0
у = x³/(x² - 4) = 0, х = 0.
5) находят точки разрыва функции и определяют их характер.
Точками разрыва второго рода называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.
Такие точки определены в пункте 1: х = -2 и х = 2.
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции.
Находится производная и приравнивается нулю - это критические точки. y' = (2x²(x² - 12)/((x² - 4)²).
Приравниваем 0 числитель: (2x²(x² - 12) = 0.
Имеем 3 решения: х = 0, х = +√12 = 2√3 и х = -2√3.
Проверяем свойства критических точек по знакам производной левее и правее критической точки
Имеем: х = 0 не экстремум,
х = - 2√3 это локальный максимум,
х = 2√3 это локальный минимум.
7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой.
Находим вторую производную: y'' = (16x(x² + 12)/((x² - 4)³).
Как видим, она равна 0 только при х = 0
Это одна точка перегиба.
Левее х = -2√3 график выпуклый, правее х = 2√3 - вогнутый.
На промежутке от х = -2√3 до х = 2√3 график меняется с вогнутого на выпуклый в точке х = 0.
8) отыскание асимптот кривой.
Вертикальные асимптоты определились в пункте 1: х = -2 и х = 2 в точках разрыва функции.
Горизонтальных - нет
Наклонная в виде у = кх определена по пределу: k = lim(y/x), x⇒∞.
у = 2х.
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.