Question

Докажите тождество

sin2a-sin8a/cos2a-cos8a=-ctg5a

Answer 1

Для начала, давайте преобразуем левую часть выражения:
sin2a - sin8a / cos2a - cos8a

Для удобства, давайте рассмотрим отдельно числитель и знаменатель.

1) Рассмотрим числитель: sin2a - sin8a

Мы можем использовать формулу разности синусов: sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB.

Таким образом, мы можем преобразовать числитель:

sin2a - sin8a = (sin2a * cos8a) - (cos2a * sin8a)

2) Рассмотрим знаменатель: cos2a - cos8a

Точно так же, мы можем использовать формулу разности косинусов: cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB.

Преобразуем знаменатель:

cos2a - cos8a = (cos2a * cos8a) + (sin2a * sin8a)

Теперь, давайте вернемся к исходному выражению и подставим значения, которые мы только что получили:

(sin2a * cos8a) - (cos2a * sin8a) / (cos2a * cos8a) + (sin2a * sin8a)

Теперь давайте преобразуем это выражение, чтобы сделать его более простым и удобным для анализа.

Факторизуем числитель и знаменатель:
(sin2a * cos8a - cos2a * sin8a) / (cos2a * cos8a + sin2a * sin8a)

Выражение в числителе схоже с формулой синуса разности: sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB.

Поэтому можно сказать, что числитель равен sin(2a - 8a). Упрощая это, получим:

sin(2a - 8a) = sin(-6a) = -sin(6a)

Аналогично, эта же логика применяется к знаменателю. Выражение в знаменателе равно sin(5a).

Теперь мы можем записать исходное тождество в более простой форме:

(-sin(6a)) / sin(5a)

Используем основное соотношение тригонометрии: ctg(x) = 1/tan(x).

Таким образом, мы можем конечно доказать тождество:

(-sin(6a)) / sin(5a) = -ctg(5a)

Мы получаем -ctg(5a) в качестве конечного ответа.