Функция состоит из трех квадратных трехчленов. разложим их на множители по формуле
ax2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2), где х1 и х2 — корни квадратных уравнений.
Все три квадратных уравнения приведенные. Это значит, что можно найти их корни по теореме Виета. Именно поэтому я сразу напишу разложения этих трехчленов на множители. Конечно, решать через дискриминант никто не запрещал и ошибкой это не будет.
Итак, после разложения на множители функция примет такой вид:
Видно невооруженным глазом, что скобки из знаменателя сокращаются со скобками из числителя. Это просто супер-пупер! Но надо обязательно оговориться, что знаменатель не может быть равен нулю, а значит, что x ≠ -1 и x ≠ 3. Эти исключения подразумевают выколотые точки на нашем будущем графике.
После сокращения раскрываем оставшиеся скобки.
Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда (15 - х) км/ч - скорость лодки против течения реки. Скорость плота равна скорости течения. Уравнение:
18/(15-х) - 18/х = 4,5
18 · х - 18 · (15 - х) = 4,5 · х · (15 - х)
18х - 270 + 18х = 67,5х - 4,5х²
4,5х² - 67,5х + 36х - 270 = 0
4,5х² - 31,5х - 270 = 0
Разделим обе части уравнения на 4,5
х² - 7х - 60 = 0
D = b² - 4ac = (-7)² - 4 · 1 · (-60) = 49 + 240 = 289
√D = ±17
х = (-b±√D)/2а
х₁ = (7-17)/(2·1) = (-10)/2 = -5 (не подходит, так как < 0)
х₂ = (7+17)/(2·1) = 24/2 = 12
ответ: 12 км/ч - скорость течения реки.
Проверка:
18 : (15 - 12) = 18 : 3 = 6 ч - время движения против течения
18 : 12 = 1,5 ч - время движения плота
6 - 1,5 = 4,5 ч - разница (по условию)
областью определения функции является система двух неравенств:
х²-4х-5≥0 , т.к. под корнем число неотрицательное
х-6≠0 , т.к. в знаменателе не может быть 0
Решаем первое неравенство:
х²-4х-5≥0
х²-4х-5=0
Д=в²-4ас=(-4)²-4·1·(-5)=16+20=36 , √Д=6
х=(-в±√Д)÷2а , х₁=(4+6)÷2=5 , х₂=(4-6)÷2=-1
На координатной прямой ставим точки -1 и 5 (не выкалываем, т.к. у нас ≥0), определяем знаки на полуинтервале от -∞ до -1 (знак +), отрезке от -1 до 5 (знак -), полуинтервале от 5 до +∞ (знак +). На координатной прямой ставим точку 6, исходя из второго неравенства. В ответ пойдут промежутки со знаком +, но заметим, что точка 6 выкалывается.
ответ: полуинтервал от -∞ до -1 U полуинтервал от 5 до 6 U интервал от 6 до +∞