Найти промежутки возрастания и убывания функции: у = - х^2+ 2х + 2 ; Найдите точки экстремумов функции f(х) = х^3 – 6х^2 + 9х; Найти наименьшее значение функции у = – х^2 + 4х + 2 на промежутке [0;4].
Будем считать узлами сетки точки на плоскости XY с целочисленными координатами. Для узлов (xi,yi), (xj, yj) середина соединяющего их отрезка имеет координаты ( [xi+xj]/2, [yi+yj]/2 ) и является узлом, если координаты целые. Для целых чисел a,b число (a+b)/2 является целым, если одновременно a и b четные, либо если одновременно a и b нечетные. Т.е. среди пяти выбранных узлов должны найтись два таких, что четности их координат попарно совпадают. Среди пяти узлов найдется хотя бы три с одинаковой четностью x-координат (Пусть среди пяти узлов k имеют четную x-координату. Если k >= 3, имеется 3 узла с четной координатой. Если k < 3, то количество узлов с нечетной x-координатой = 5 - k >= 3 - имеется 3 узла с нечетной координатой). Рассмотрим эти три узла. Среди них найдется хотя бы два с одинаковой четностью y-координаты (Аналогично, среди чисел k и 3-k хотя бы одно >= 2). Т.е. мы получили два узла с попарно одинаковыми четностями координат -> середина соединяющего их отрезка имеет целые координаты -> она является узлом сетки.
Разложим число ab(a² - b²) на множители: ab(a² - b²) = ab(a - b)(a + b). Нам нужно доказать, что это число делится на 6 <=> делится на 2 и на 3. Докажем, что число ab(a - b)(a + b) делится на 2. Если хотя бы одно из чисел а и b четно, то все нормально. Если a и b нечетные, то разность (a - b) делится на 2 и тоже вче нормально. Докажем, что число ab(a - b)(a + b) делится на 3. Если хотя бы одно из чисел a и b делится на 3, то все нормально. Если числа a и b не делятся на 3, но дают одинаковые остатки при делении на 3, то разность (a - b) делится на 3. Если числа a и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то сумма (а + b) делится на 3. Значит, число ab(a² - b²) = ab(a - b)(a + b) делится на 2 и на 3, значит и на 6.
Для узлов (xi,yi), (xj, yj) середина соединяющего их отрезка имеет координаты ( [xi+xj]/2, [yi+yj]/2 ) и является узлом, если координаты целые.
Для целых чисел a,b число (a+b)/2 является целым, если одновременно a и b четные, либо если одновременно a и b нечетные.
Т.е. среди пяти выбранных узлов должны найтись два таких, что четности их координат попарно совпадают.
Среди пяти узлов найдется хотя бы три с одинаковой четностью x-координат (Пусть среди пяти узлов k имеют четную x-координату. Если k >= 3, имеется 3 узла с четной координатой. Если k < 3, то количество узлов с нечетной x-координатой = 5 - k >= 3 - имеется 3 узла с нечетной координатой). Рассмотрим эти три узла. Среди них найдется хотя бы два с одинаковой четностью y-координаты (Аналогично, среди чисел k и 3-k хотя бы одно >= 2). Т.е. мы получили два узла с попарно одинаковыми четностями координат -> середина соединяющего их отрезка имеет целые координаты -> она является узлом сетки.