Question

Знайти екстремум функції y = 2x3 – 3x2

Answer 1

Дана функция:

$y = 2 {x}^{3} - 3{x}^{2}$

Найдём её производную:

$y' = (2 {x}^{3} - 3{x}^{2} )' = 6 {x}^{2} - 6x$

Приравняем её к нулю:

$6 {x}^{2} - 6x = 0 \\ {x}^{2} - x = 0 \\ x(x - 1) = 0 \\ x = 0 \\ x = 1$

Получили 2 точки возможного экстремума. Теперь выбираем числа по обе стороны от данных точек, подставляем в производную и смотрим на её знак:

$x_{0}= - 1 = y' (x_{0})= 12 0$

В точке -1 производная больше нуля, поэтому функция возрастает;

$x_{1} = 0.5 = y'(x_{1}) = - 1.5 < 0$

В точке 0.5 производная меньше нуля, а значит функция, убывает;

$x_{2} = 2 = y'(x_{2}) = 12 0$

В точке 2 производная больше нуля, значит функция возрастает.

В итоге получаем, что до точки 0 функция росла, между 0 и 1 – убывала, а от точки 1 – опять росла, поэтому точка 0 – максимум функции, а точка 1 – её минимум.