Question

Найдите наиболее значение функции y=корень из x3-75x+375 на отрезке [-6;6]​

Answer 1

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке можно воспользоваться методом исследования функции.

Шаг 1: Найдем точки, в которых производная функции равна нулю. Для этого вычислим производную функции y по переменной x.

y = √(x^3 - 75x + 375)

Для удобства проведения исследования, заменим корень из выражения точкой:

y = (x^3 - 75x + 375)^(1/2)

Давайте обозначим это выражение как f(x):

f(x) = (x^3 - 75x + 375)^(1/2)

Теперь вычислим производную функции f(x) по переменной x, снова заменив корень на точку:

f'(x) = (1/2)*(x^3 - 75x + 375)^(-1/2) * (3x^2 - 75)

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю:

f'(x) = 0

(1/2)*(x^3 - 75x + 375)^(-1/2) * (3x^2 - 75) = 0

Так как (1/2)*(x^3 - 75x + 375)^(-1/2) не может быть равно нулю, остается только рассмотреть второй множитель:

3x^2 - 75 = 0

3x^2 = 75

x^2 = 25

x = ±5

Получили две точки, в которых производная равна нулю: x = -5 и x = 5.

Шаг 3: Найдем значения функции в найденных точках, а также на концах отрезка [-6;6]. Для этого подставим значения x в исходное уравнение функции y:

1) x = -6:

y = √((-6)^3 - 75*(-6) + 375) = √(216 + 450 + 375) = √(1041)

2) x = -5:

y = √((-5)^3 - 75*(-5) + 375) = √(125 + 375 + 375) = √(875)

3) x = 5:

y = √((5)^3 - 75*(5) + 375) = √(125 - 375 + 375) = √(125)

4) x = 6:

y = √(6^3 - 75*6 + 375) = √(216 - 450 + 375) = √(141)

Шаг 4: Сравним значения функции в найденных точках и выберем наибольшее из них:

Значение функции в точке x = -6: √(1041) ≈ 32.28

Значение функции в точке x = -5: √(875) ≈ 29.58

Значение функции в точке x = 5: √(125) ≈ 11.18

Значение функции в точке x = 6: √(141) ≈ 11.87

Итак, наибольшее значение функции y = корень из (x^3 - 75x + 375) на отрезке [-6;6] равно примерно 32.28 и достигается при x = -6.