1. Начнем с упрощения тригонометрических функций.
a) Воспользуемся формулой двойного угла для cos:
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
Мы видим, что у нас есть cos72°, который мы можем выразить через cos36° (половина угла 72°):
cos72° = 2cos²36° - 1
b) Также, у нас есть cos18°, который можно выразить через cos9° (половина угла 18°):
cos18° = 2cos²9° - 1
c) Также, у нас есть sin168°, который можно выразить через sin12° (половина угла 168°):
sin168° = sin(180° - 12°) = sin12°
2. Заменим в нашем выражении соответствующие тригонометрические функции:
cos72°⋅cos12°+cos18°⋅sin168° = (2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅sin12°
Вероятность находится отношением благоприятных исходов ко всем возможным исходам.
а) Четверка имеется только на одной грани кубика, всего граней - 6, значит вероятность равна одному благоприятному исходу к шести возможным:
1/6
б) Четное число очков имеется на 3 гранях кубика - это 2, 4 и 6, следовательно:
3/6 = 1/2
в) Число очков больше 4 может иметь только 2 грани - с цифрами 5 и 6, следовательно:
2/6 = 1/3
г) 4 грани имеют цифры, не кратные 3 - это 1, 2, 4 и 5, следовательно:
4/6 = 2/3
ответ: 1/6, 1/2, 1/3, 2/3.