Question

Найдите точку минимума функции y= x^3 -147x +14

Answer 1

Чтобы найти точку минимума функции, нужно найти значение x, при котором функция достигает минимального значения y.

Шаг 1:
Для начала, возьмем производную функции y по переменной x. Это поможет нам найти точки, где функция может иметь экстремумы.

y' = d/dx (x^3 - 147x + 14)

Для нахождения производной, используем правила дифференцирования. Производная каждого слагаемого будет равняться:

d/dx (x^3) = 3x^2
d/dx (-147x) = -147
d/dx (14) = 0 (производная константы равна нулю)

Теперь соберем все слагаемые вместе:

y' = 3x^2 - 147

Шаг 2:
Найдем значения x, при которых y' равна нулю. Эти значения будут точками экстремумов.

3x^2 - 147 = 0

Для решения уравнения, добавим 147 к обеим сторонам и разделим на 3:

3x^2 = 147
x^2 = 49
x = ±√49
x = ±7

Таким образом, мы нашли две точки, где функция может достигать экстремальных значений: x = 7 и x = -7.

Шаг 3:
Определение типа экстремума в каждой точке.

Для этого, мы должны проанализировать знак второй производной функции y.

y'' = d^2/dx^2 (x^3 - 147x + 14)

Снова используем правила дифференцирования:

d^2/dx^2 (x^3) = 6x
d^2/dx^2 (-147x) = -147
d^2/dx^2 (14) = 0

Соберем все слагаемые вместе:

y'' = 6x - 147

Шаг 4:
Подставим найденные значения x = 7 и x = -7 в уравнение y'':

y'' (x = 7) = 6 * 7 - 147 = - 105
y'' (x = -7) = 6 * -7 - 147 = - 189

Знак второй производной в каждой точке показывает тип экстремума:

- Если y'' < 0, то это точка максимума.
- Если y'' > 0, то это точка минимума.

Так как y'' (x = -7) = -189 < 0, то точка x = -7 является точкой максимума.
А y'' (x = 7) = -105 < 0, то точка x = 7 является точкой максимума.

Таким образом, в данной функции нет точки минимума. Есть только две точки максимума: x = -7 и x = 7.