Question

Определи значение выражения tg^2t+ctg^2t, если известно, что tgt+ctgt=3.

Answer 1

Для решения данной задачи, мы должны использовать знания о тригонометрических функциях и их свойствах.

Дано: tgt + ctgt = 3

Нам нужно найти значение выражения tg^2t + ctg^2t.

Для начала, давайте вспомним основные определения тангенса и котангенса:

tg(t) = sin(t) / cos(t)
ctg(t) = cos(t) / sin(t)

Теперь, давайте возводить оба уравнения в квадрат:

(tg(t))^2 = (sin(t) / cos(t))^2
(ctg(t))^2 = (cos(t) / sin(t))^2

Мы можем переписать их следующим образом:

(tg(t))^2 = (sin(t))^2 / (cos(t))^2
(ctg(t))^2 = (cos(t))^2 / (sin(t))^2

Теперь, посмотрим на выражение tg^2t + ctg^2t. Мы можем заменить тангенс и котангенс их определениями:

tg^2t + ctg^2t = (sin(t))^2 / (cos(t))^2 + (cos(t))^2 / (sin(t))^2

Общим знаменателем для данных слагаемых является произведение (sin(t))^2 * (cos(t))^2. Мы можем привести слагаемые к общему знаменателю:

tg^2t + ctg^2t = (sin(t))^4 / (cos(t))^2 * (sin(t))^2 + (cos(t))^4 / (sin(t))^2 * (cos(t))^2

Теперь, мы можем объединить слагаемые:

tg^2t + ctg^2t = [(sin(t))^4 + (cos(t))^4] / [(cos(t))^2 * (sin(t))^2]

Теперь, мы можем использовать формулу сложения квадратов:

(sin(t))^4 + (cos(t))^4 = [(sin(t))^2 + (cos(t))^2]^2 - 2(sin(t))^2 * (cos(t))^2

Но согласно тригонометрическому тождеству, (sin(t))^2 + (cos(t))^2 = 1, поэтому:

(sin(t))^4 + (cos(t))^4 = 1 - 2(sin(t))^2 * (cos(t))^2

Подставляем это в наше уравнение:

tg^2t + ctg^2t = [1 - 2(sin(t))^2 * (cos(t))^2] / [(cos(t))^2 * (sin(t))^2]

Используем определения синуса и косинуса:

tg^2t + ctg^2t = [1 - 2(sin(t))^2 * (1 - (sin(t))^2)] / [(1 - (sin(t))^2) * (sin(t))^2]

Упрощаем выражение в числителе:

tg^2t + ctg^2t = [1 - 2(sin(t))^2 + 2(sin(t))^4] / [(1 - (sin(t))^2) * (sin(t))^2]

Финальный шаг - сокращаем выражение, используя тригонометрическое тождество:

tg^2t + ctg^2t = [1 - 2(sin(t))^2 + 2(sin(t))^4] / [(1 - (sin(t))^2) * (sin(t))^2]
= [1 - 2(sin(t))^2 + 2(sin(t))^4] / [(cos(t))^2 * (sin(t))^2]
= [1 - 2(sin(t))^2 + 2(sin(t))^4] / [(1 - (cos(t))^2) * (sin(t))^2]

Таким образом, значение выражения tg^2t + ctg^2t равно [1 - 2(sin(t))^2 + 2(sin(t))^4] / [(1 - (cos(t))^2) * (sin(t))^2].