х₁=-2;x=3 нашел подбором с использованием теоремы Виета
1. при а=0 выражение (1) принимает вид x²-5x+6=0 и имеет два решения
по формуле ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)
x²-5x+6=(x+2)(x-3) подставим в (1)
(x+2)(x-3)+[√(a(x-2))](x=3)-6a(x-3)=0 вынесем за скобки общий множитель
(x-3)(x+2)+[√(a(x-2))]-6a)=0 это выражение имеет решение х=3
очевидно что, чтобы выражение (1) имело единственное решение выражение x+2+[√(a(x-2))]-6a=0 (2) не должно иметь решений
преобразуем выражение (2)
√(a(x-2))=-х+(6a-2) решим это уравнение графическим
у=√(a(x-2))
у=-х+(6a-2)
чтобы уравнение (2) не имело решений надо найти такое а при котором графики указанных выше функций не пересекались
выясним взаимное расположение графиков в зависимости от параметра а
2. При а>0
графиком у=√(a(x-2)) является кривая линия получающаяся из линии у=√х переноса вдоль оси ОХ на 2 единицы вправо и сжатием - растяжением вдоль оси ОХ в зависимости от значения а
крайняя левая по оси ОХ точка кривой (2;0) , ветка кривой направлена вправо .
так как a>0 (6a-2)>-2
2.1. при (6a-2)=2 прямая у=-х+(6a-2) имеет вид у=-х+2 и проходит через точку (2;0) и графики пересекаются в этой точке, при этом (2) имеет одно решение
2.2 при 6a-2>2 прямая у=-х+(6a-2) находится выше прямой у=-х+2 и и графики пересекаются в двух точках при этом (2) имеет 2 решения
2.3 при 6a-2<2 прямая у=-х+(6a-2) находится ниже прямой у=-х+2 и и графики не пересекаются (2) не имеет решений
при этом
6a-2<2 ; 6a<4; a<4/6; a<2/3 с учетом того что мы рассматриваем a>0
0<a<2/3
3. При а<0
графиком у=√(a(x-2)) является кривая линия получающаяся из линии у=√х переноса вдоль оси ОХ на 2 единицы вправо и сжатием - растяжением вдоль оси ОХ в зависимости от значения а
крайняя правая относительно оси ОХ точка кривой (2;0) , ветка кривой направлена влево .
так как a<0 то (6a-2)<-2
так как (6a-2)<-2
прямая у=-х+(6a-2) в этом случае находится ниже прямой у=-х-2
которая имеет с графиком кривой общую точку и тоже имеет с графиком кривой общую точку
в этом случае (2) имеет решение
таким образом, уравнение 1 имеет единственное решение
Пусть v1 км/ч- скорость первого автомобиля, v2 км/ч - второго, t - время от старта автомобилей до их встречи. Тогда первый автомобиль находился в пути время t1=t+1,6 ч, а второй - время t2=t+2,5 ч, поэтому v1*(t+1,6)=v2*(t+2,5)=180. Кроме того, v1*t+v2*t=180. Получаем систему уравнений:
v1*(t+1,6)=180 v2*(t+2,5)=180 v1*t+v2*t=180
Из первого уравнения находим v1=180/(t+1,6), из второго - v2=180/(t+2,5). Подставляя эти выражения в третье уравнение, получаем уравнение:
180*t/(t+1,6)+180*t/(t+2,5)=180, или t/(t+1,6)+t/(t+2,5)=1.Отсюда следует уравнение t*(t+2,5)+t*(t+1,6)=t²+4,1*t+4, или 2*t²=t²+4. Тогда t²=4 и t=√4=2 ч. Отсюда v1=180/(2+1,6)=50 км/ч и v2=180/(2+2,5)=40 км/ч. ответ: 50 и 40 км/ч.
Объяснение:
вынесем за скобки общие множители
x²-5x+6+[√(a(x-2))](x=3)-6a(x-3)=0 (1)
x²-5x+6 разложим на множители
х₁=-2;x=3 нашел подбором с использованием теоремы Виета
1. при а=0 выражение (1) принимает вид x²-5x+6=0 и имеет два решения
по формуле ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)
x²-5x+6=(x+2)(x-3) подставим в (1)
(x+2)(x-3)+[√(a(x-2))](x=3)-6a(x-3)=0 вынесем за скобки общий множитель
(x-3)(x+2)+[√(a(x-2))]-6a)=0 это выражение имеет решение х=3
очевидно что, чтобы выражение (1) имело единственное решение выражение x+2+[√(a(x-2))]-6a=0 (2) не должно иметь решений
преобразуем выражение (2)
√(a(x-2))=-х+(6a-2) решим это уравнение графическим
у=√(a(x-2))
у=-х+(6a-2)
чтобы уравнение (2) не имело решений надо найти такое а при котором графики указанных выше функций не пересекались
выясним взаимное расположение графиков в зависимости от параметра а
2. При а>0
графиком у=√(a(x-2)) является кривая линия получающаяся из линии у=√х переноса вдоль оси ОХ на 2 единицы вправо и сжатием - растяжением вдоль оси ОХ в зависимости от значения а
крайняя левая по оси ОХ точка кривой (2;0) , ветка кривой направлена вправо .
так как a>0 (6a-2)>-2
2.1. при (6a-2)=2 прямая у=-х+(6a-2) имеет вид у=-х+2 и проходит через точку (2;0) и графики пересекаются в этой точке, при этом (2) имеет одно решение
2.2 при 6a-2>2 прямая у=-х+(6a-2) находится выше прямой у=-х+2 и и графики пересекаются в двух точках при этом (2) имеет 2 решения
2.3 при 6a-2<2 прямая у=-х+(6a-2) находится ниже прямой у=-х+2 и и графики не пересекаются (2) не имеет решений
при этом
6a-2<2 ; 6a<4; a<4/6; a<2/3 с учетом того что мы рассматриваем a>0
0<a<2/3
3. При а<0
графиком у=√(a(x-2)) является кривая линия получающаяся из линии у=√х переноса вдоль оси ОХ на 2 единицы вправо и сжатием - растяжением вдоль оси ОХ в зависимости от значения а
крайняя правая относительно оси ОХ точка кривой (2;0) , ветка кривой направлена влево .
так как a<0 то (6a-2)<-2
так как (6a-2)<-2
прямая у=-х+(6a-2) в этом случае находится ниже прямой у=-х-2
которая имеет с графиком кривой общую точку и тоже имеет с графиком кривой общую точку
в этом случае (2) имеет решение
таким образом, уравнение 1 имеет единственное решение
при 0<a<2/3