А) Олег находится в конце ряда, остальные 6 человек расположены как угодно перед ним.
Всего вариантов 6! = 720.
Б) Олег в начале ряда, Игорь в конце ряда, остальные 5 человек расположены как угодно между ними.
Всего вариантов 5! = 120.
В) Олег и Игорь стоят рядом, то есть они как бы один человек. Вместе с остальными 5-ью получается 6 человек.
Выходит 6! = 720 вариантов. Но Олег и Игорь могут стоять в разном порядке: Олег 1-ый, Игорь 2-ой, или наоборот. Поэтому умножаем на 2.
Всего 720*2 = 1440 вариантов.
Общие формулы:
a(n) = a1 + d(n-1)
S(n) = (a1 + a(n))*n/2 = (2a1 + d(n-1))*n/2
1) a1 = 65; d = - 2
a32 = a1 + 31d = 65 + 31(-2) = 65 - 62 = 3
a40 = a1 + 39d = 65 + 39(-2) = 65 - 78 = - 13
2) a1 = 42; d = 34 - 42 = - 8
a24 = a1 + 23d = 42 + 23(-8) = - 142
S(24) = (a1 + a24)*24/2 = (42 - 142)*12 = - 100*12 = - 1200
3) b(n) = 2n - 5; b1 = - 3; b2 = - 1; d = 2; b80 = 155
S(80) = (a1 + a80)*80/2 = (-3+155)*40 = 152*40 = 6080
4) a1 = - 2,25; a11 = 10,25; n = 11
Найдем разность прогрессии d.
a11 = a1 + 10d
10,25 = - 2,25 + 10d
d = (10,25+2,25)/10 = 12,5/10 = 1,25
Проверим, при каком n получится 6,5.
a(n) = a1 + d(n-1)
6,5 = - 2,25 + 1,25*n - 1,25 = 1,25*n - 3,5
1,25*n = 6,5 + 3,5 = 10
n = 10/1,25 = 8
n целое, значит, 6,5 действительно член этой прогрессии.