Question

Является ли последовательность монотонной?
yn=n2/5n.
В своих рассуждениях используй доказательство. Запиши, чему равна разность данных членов последовательности (сначала у выражение):
yn+1−yn=
n+
−
n2
n+1.
Запиши в виде формулы неравенство, подтверждающее или опровергающее характер монотонности:
y
n+1
n
.

ответ:
последовательность является монотонной и возрастающей
последовательность не является монотонной
последовательность является монотонной и убывающей

Answer 1

Для решения данной задачи, мы должны проанализировать разность между последовательными членами последовательности. Для этого выразим члены последовательности и вычислим их разность:

yn = n^2 / (5n)

yn+1 = (n+1)^2 / (5(n+1))

yn+1 - yn = (n+1)^2 / (5(n+1)) - n^2 / (5n)

Сокращаем дроби и раскрываем скобки:

yn+1 - yn = ((n^2 + 2n + 1) - (n^2)) / (5(n+1)n)

yn+1 - yn = (2n + 1) / (5(n+1)n)

Теперь выразим итоговое выражение в виде неравенства для проверки монотонности:

yn+1 - yn > 0 для монотонного возрастания

Или

yn+1 - yn < 0 для монотонного убывания

Теперь подставим выражение для yn+1 - yn:

(2n + 1) / (5(n+1)n) > 0 для монотонного возрастания

Или

(2n + 1) / (5(n+1)n) < 0 для монотонного убывания

Выражение (2n + 1) всегда положительное, так как n является положительным числом. Значит, нам нужно рассмотреть знак выражения (5(n+1)n), чтобы определить знак выражения в левой части неравенства.

(5(n+1)n) является произведением трех множителей: 5, (n+1) и n. Заметим, что n и (n+1) всегда положительные числа, так как они являются последовательными натуральными числами. Значит, нам остается только рассмотреть знак множителя 5.

Если 5 является положительным числом, то знак выражения (5(n+1)n) будет положительным. Это означает, что итоговое выражение (2n + 1) / (5(n+1)n) > 0 является истинным и последовательность является монотонной и возрастающей.

Если 5 является отрицательным числом, то знак выражения (5(n+1)n) будет отрицательным. Это означает, что итоговое выражение (2n + 1) / (5(n+1)n) < 0 является истинным и последовательность является монотонной и убывающей.

Поскольку в задаче отсутствует информация о знаке множителя 5, мы не можем точно определить, является ли последовательность монотонной. Следовательно, правильный ответ будет: последовательность не является монотонной.