Question

Найти наименьшее значение функции y=x³+12x²+15 на отрезке -2;2

Answer 1

Хорошо, давай ответим на твой вопрос.

Нам нужно найти наименьшее значение функции y=x³+12x²+15 на отрезке [-2, 2].

Шаг 1: Найдем значения функции в концах отрезка -2 и 2. Подставим x=-2 и x=2 в уравнение, чтобы получить значения y.

Когда x = -2:
y = (-2)³ + 12(-2)² + 15
= -8 + 12(4) + 15
= -8 + 48 + 15
= 55

Когда x = 2:
y = 2³ + 12(2)² + 15
= 8 + 12(4) + 15
= 8 + 48 + 15
= 71

Шаг 2: Теперь посмотрим на значение функции внутри отрезка. Мы можем использовать производную функции для нахождения точек экстремума. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

y = x³ + 12x² + 15
y' = 3x² + 24x

3x² + 24x = 0
3x(x + 8) = 0

Таким образом, мы получаем две возможные точки экстремума: x = 0 и x = -8.

Шаг 3: Теперь подставим эти значения обратно в уравнение, чтобы найти соответствующие значения y:

Когда x = 0:
y = 0³ + 12(0)² + 15
= 0 + 0 + 15
= 15

Когда x = -8:
y = (-8)³ + 12(-8)² + 15
= -512 + 12(64) + 15
= -512 + 768 + 15
= 271

Шаг 4: Теперь у нас есть значения функции в концах отрезка (-2 и 2) и в точках экстремума (0 и -8). Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке [-2, 2], нужно сравнить эти значения и найти минимальное.

Минимальное значение функции - это 15. Оно достигается, когда x = 0.

Итак, наименьшее значение функции y=x³+12x²+15 на отрезке [-2, 2] равно 15.