Question

Решите системы неравенств
с решением
а) -2х+12>3х-3
7х-6⩽4х+12
б)3х-2(х-7)⩽3(х+1)
(х-5)(х+5)⩽(x-3)²+2
​

Answer 1

Давайте решим по очереди оба варианта системы неравенств.

а) -2x + 12 > 3x - 3
7x - 6 ≤ 4x + 12

1. Решим первое неравенство -2x + 12 > 3x - 3:
Для начала перенесем все слагаемые с переменными на одну сторону:
-2x - 3x > -3 - 12
-5x > -15
Затем разделим обе части неравенства на -5, при этом помним о том, что знак неравенства меняется при делении на отрицательное число:
x < -15 / -5
Тогда получаем:
x < 3

2. Теперь решим второе неравенство 7x - 6 ≤ 4x + 12:
Сначала перенесем все слагаемые с переменными на одну сторону:
7x - 4x ≤ 12 + 6
3x ≤ 18
Затем разделим обе части неравенства на 3:
x ≤ 18 / 3
x ≤ 6

Итак, мы получаем систему неравенств:
x < 3
x ≤ 6

Заметь, что в системе у нас есть два неравенства, поэтому мы должны рассмотреть их совместное выполнение.

Если мы построим числовую прямую и отметим на ней интервалы, которые удовлетворяют каждому неравенству (маленькая круглая точка в понятную сторону для < и ≤), то мы сможем определить пересечение этих интервалов - это и будет решением системы неравенств.

-----------------------------------------
-∞ 3 6 +∞
-----------------------------------------
x
-----------------------------------------

Здесь мы начинаем отрицательную бесконечность и идем вправо.

Показано, что x < 3 это все значения x, меньшие чем 3, и x ≤ 6 это все значения x, меньшие либо равные 6.

Соответственно, пересечение этих интервалов будет означать значения x, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам. Здесь это все числа, меньшие либо равные 3.

В итоге, решением системы неравенств будет x ≤ 3.

б) 3x - 2(x-7) ≤ 3(x+1)
(x-5)(x+5) ≤ (x-3)² + 2

1. Решим первое неравенство 3x - 2(x-7) ≤ 3(x+1):
Сначала раскроем скобки:
3x - 2x + 14 ≤ 3x + 3
Сокращаем подобные слагаемые:
x + 14 ≤ 3x + 3
Затем перенесем все слагаемые с переменными на одну сторону:
x - 3x ≤ 3 - 14
-2x ≤ -11
Разделим обе части неравенства на -2, помня о том, что знак неравенства меняется при делении на отрицательное число:
x ≥ -11 / -2
x ≥ 11/2
Заметь, что перевернулся знак неравенства, так как мы делили на отрицательное число.

2. Решим второе неравенство (x-5)(x+5) ≤ (x-3)² + 2:
Сначала раскроем скобки:
x² - 5x + 5x - 25 ≤ x² - 3x + 3x - 9 + 2
Упростим:
-25 ≤ -9 + 2
-25 ≤ -7
В данном случае неравенство -25 ≤ -7 является верным для всех значений переменной x.

Получили систему:
x ≥ 11/2

Таким образом, решение системы неравенств - это все значения x, больше или равные 11/2.