f(x) = 4|x| - x²
1. D(f) = R - симметрична относительно 0.
2. f(-x) = 4|-x| - (-x)² = 4|x| - x² = = f(x),
по определению f(x) - чётнвя.
График чётной функции симметричен относительно оси Оу.
3. Построим часть графика для х ≥ 0, а затем отобразим построенную часть симметрично относительно оси Оу.
f(x) = 4x - x² - квадратичная, графиком является парабола, ветви направлены вниз, т.к. а = - 1, а<0.
х вершины = - b/(2a) = -4/(-2) = 2;
у вершины = 4•2 - 2² = 4;
(2;4) - вершина параболы.
Найдём нули функции:
4x - x² = 0
- х (х - 4) = 0
х = 0 или х = 4
(0;0) и (4;0) - точки пересечения с осью Ох.
Изображение графика смотрите в прикреплённом чертеже.
Прямоугольный треугольник равнобедренный! Катеты равны 9 см.
Объяснение:
Обозначим через х см длину одного из катетов, тогда длинна второго катета: (18-х) см.
Площадь прямоугольного треугольника S равна:
S=a*b/2, где
а, b - катеты данного треугольника.
Запишем функцию S(x) - зависимости площади треугольника от длинны его катетов:
S(x)=x*(18-x)/2;
S(x)= -0.5x^2+9x
Возможно эта функция имеет максимум! Попытаемся его найти.
Действия стандартные:
1. На всякий случай ищем область определения.
У нас имеется квадртный трехчлен, значит без сюрпризов:
x ∈ ]-∞; +∞[.
2. Ищем экстремум функции. Для чего находим производную функции, и приравниваем ее к 0:
S'(x)= (-0.5x^2+9x)'= -0.5*2*x+9= -x+9;
S'(x)=0;
-x+9=0;
x=9.
Экстремум у функции есть, и он всего один! Определяем, что это - максимум или минимум. Определим, как меняется знак производной при переходе через точку экстремума. Хоршо, что область определения у нас - вся ось абсцисс, а т.к. и экстремум всего один, то мы смело берем любое число слева от абсциссы экстремума:
х=0 (0 левее 9);
S'(0)= -0.5*2*0+9= 9;
Теперь берем любое число правее х=9:
х=10;
S'(10)= -0.5*2*10+9= -10+9= -1;
Т.о. при перехде через ноль производная меняет знак с "+" на "-". Следовательно наш экстремум - максимум!
Имеем максимум площади при длине одного катета 9 см, длина второго катета (18-х)=18-9=9 см.
Прямоугольный треугольник равнобедренный!