Задачи на оптимизацию. Для воды на садовом участке из толстых листов металла надо изготовить закрытую - id1184532220220614 от ilyuza2004p06tr4 14.06.2022 08:04

Question

Алгебра: Задачи на оптимизацию. Для воды на садовом участке из толстых листов металла надо изготовить закрытую ёмкость объёмом 9/8 м3 в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого отличаются друг от друга в 2 раза. Каковы должны быть измерения этого бака, чтобы на его изготовления ушло наименьшее количество металла?

ilyuza2004p06tr4 · Accepted Answer

dy/dx=y`

y`=–y/(2√xy–x)

Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х:

y`=(y/x)/(2√x/y–1)

Справа функция, зависящая от (y/x)

Значит, это однородное уравнение первой степени

Решается заменой

y/x=u

y=x·u

y`=x`·u+x·u`

x`=1

y`=u+x·u`

u+xu`=–(xu)/(2√x·ux–x)

Это уравнение с разделяющимися переменными

не нравится.

Громоздко.

Поскольку переменные х и у равноправны, то можно сделать и так:

dx/dy=x`

y·x`=–2√xy+x

x`=–2√x/y+(x/y)

Замена лучше так:

x/y=u

x=u·y

x`=u`·y+u·y` ( y`=1)

x`=u`·y+u

тогда

u`·y+u=–2√u+(u)

u`·y=–2√u – уравнение с разделяющимися переменными

y·du=–2√udy

du/2√u=–dy/y

Интегрируем:

∫ du/2√u=– ∫ dy/y

√u=–lny+c

или вместо c лучше написать lnC

√u=–lny+lnC

√u=ln(C/y)

C/y=e^(√u

u=x/y

С/у=e√x/y – общее решение

MOGZ ответил