Заметим ,что наименьшие значения функций:
2^(x-3) +4>4
5*|tg(x)|+3*|ctg(x)|>=2√15 (из соображений полного квадрата и положительности каждого из членов |tg(x)|*|ctg(x)|=1)
Рассмотрим случай когда : a<-2√15
В этом случае числитель будет отрицателен при любом x:
a-(2^(x-3) +4)<0
Знаменатель же ,будет положителен не всегда, тк при каком нибудь x обязательно найдется значение 5*|tg(x)|+3*|ctg(x)|>a ,тк оно имеет область значений от 2√15 до бесконечности) . То есть в зависимости от x, может быть как и положителен так и отрицателен. Вывод: при a<-2√15 будут существовать решения неравенства.
Рассмотрим случай когда: a>4
Тут ситуация иная:
Знаменатель тут всегда положителен,а вот числитель не всегда отрицателен,то есть решения так же будут существовать .
Наконец рассмотрим случай когда:
-2√15<=a<=4
В этом случае числитель всегда отрицателен (при любом x), а знаменатель же наоборот будет неотрицателен. Таким образом только на этом интервале неравенство не будет иметь решения не для какого x. Тк отношение числителя и знаменателя всегда будет отрицательным. P.S Не у кого тут нет вопросов почему строгое неравенство для -2√15(знаменателю быть равным нулю не запрещается,тк наша цель отсутствие решений). Почему же строгое и для 4, а дело все в том ,что: 2^(x-3) +4≠4 , а только стремится к нему при стремлении x к бесконечности,поэтому опасаться за равенство нулю числителя не стоит.
Таким образом
ответ: a∈[-2√15;4]
Объяснение:
Пусть х - скорость теплохода в неподвижной воде, тогда его скорость по течению равна х+4, а против течения х-4.
Время движения по течению 384/(х+4), время движения против течения 384/(х-4))
Составим уравнение 384/(х+4) +384/(х-4) + 8 = 48
96/(х+4) +96/(х-4) = 10
96х - 96*4 + 96х +96*4 = 10(х^2-16)
10 x^2 - 192x - 160 = 0
5 x^2 - 96x - 80 = 0
D =96^2 +4*80*5 = 9216 + 1600 = 10816, sqrt(D) = 104
x1 = (96+104)/10 = 20
x2 = (96-104)/10 <0 отрицательной скорости не может быть
ответ: скорость теплохода в неподвижной воде равна 20км/ч